Konvergenzbeweis bei unendlicher Reihe

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Konvergenzbeweis bei unendlicher Reihe
Diese Reihen machen mich noch wahnsinnig, vielleicht kann mir hier ja wer helfen..

Beweisen sie, daß die unendliche Reihe

für alle mit der Eigenschaft absolut konvergiert, und berechnen sie im Fall der Konvergenz ihren Wert in Abhängigkeit von z.

Meine Gedanken bisher:
Die Reihe alterniert und wird immer kleiner, da ja schneller wäxhst als , da muss die doch konvergieren.
Mit dem zweiten Teil der Aufgabe kann ich leider überhaupt nichts anfangen und eine richtige Beweisidee habe ich auch noch nicht.
traurig
Schon mal danke für jede Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe
Ich weiß natürlich nicht, welche Vorkenntnisse aus der Vorlesung (ich vermute, es handelt sich um Funktionentheorie) da sind. Ich setze daher einmal das Folgende als bekannt voraus:

Jede Potenzreihe besitzt einen eindeutig bestimmten Konvergenzradius. Dieser ändert sich beim Differenzieren nicht.

Bei dieser Reihe fällt auf, daß n (außer beim Term n+1) nur im Exponenten auftritt. Solche Reihen führt man am besten auf die geometrische Reihe zurück. Und die Sache mit dem n+1 bekommt man durch Differenzieren in Griff.

Zur Erinnerung:



Wir starten also nicht mit der Originalreihe, sondern quasi mit deren Stammfunktion:



Haben wir den Konvergenzradius dieser Reihe sowie einen geschlossenen Ausdruck dafür, so bekommen wir das Entsprechende für die gesuchte Reihe einfach durch Differenzieren (Konvergenzradius bleibt erhalten). Durch das Ausklammern von z aus der Summe haben alle Potenzen denselben Exponenten und wir können zusammenfassen:



Die Reihe rechts ist jetzt eine geometrische Reihe mit -z/3 anstelle von z. Eine geometrische Reihe konvergiert aber immer für |...|<1, hier also für |-z/3|<1, d.h. für |z|<3. Damit kennen wir den Konvergenzradius r=3. Jetzt müssen wir nur noch in der bekannten Formel für die geometrische Reihe z durch -z/3 substituieren:



Für die gesuchte Reihe gilt nun:



Der Konvergenzradius ist 3.
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