Betragsfunktion Lösungsmenge? |
| 16.04.2004, 14:59 | Patrick | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Betragsfunktion Lösungsmenge? ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann! Kann mir jemand helfen, wie ich das anstellen kann? Aufgabe: |X - 2| --------- > X |X+ 5| Bitte helft mir. Gruß Patrick |
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| 16.04.2004, 15:02 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Betragsfunktion Lösungsmenge? Weißt du denn was der Betrag ist bzw. welche Einschräkungen er mit sich bringt? Für welche x wann was gilt? |
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| 16.04.2004, 15:05 | Patrick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo denke schon. Ein Betrag ist eine Zahl, die immer Positiv oder 0 ist!? Oder? |
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| 16.04.2004, 15:09 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja das gilt nur wenn du dsa so ausdrückst |4|=4 |-4|=4 Aber wenn du mit Variablem arbeitest dann muss das allgemein gemacht werden Also eine Fallunterscheidung |x|=x für alle x>0 |x|=-x für alle x<0 Und so must du auch an deine Gleichung rangehen Einmal für x>0 und x<0 Bei x>0 einfach die Betragsstriche weglassen und bei x<0 ein Minus vorsetzen; also vor den Betrag und als Klammern schreiben |
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| 16.04.2004, 15:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Betragsungleichung Genau so ist's! Deshalb ist die linke Seite der Ungleichung niemals negativ, höchstens einmal 0 (hier für x=2). Daher würde ich dir eine Fallunterscheidung empfehlen: 1. Fall: x<0 Für welche derartigen x ist die Ungleichung wohl erfüllt? (Direkterkennung!) 2. Fall: x>=0 Wenn beide Seiten nichtnegativ sind, kann man die Beträge äquivalent durch Quadrieren wegbekommen: |Term|² = Term² |
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| 16.04.2004, 15:14 | Patrick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kannst du mir den 1. Schritt zeigen? Weil ich bin mir nicht sicher, ob meines richtig ist, schau selbst: X - 2 > 0; X - 2 < 0; X + 5 > 0; X + 5 < 0 Gruß Patrick |
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| 16.04.2004, 15:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mit meinem Ansatz geht's wohl schon irgendwie. Es wird aber kompliziert, weil eine Ungleichung vierten Grades entsteht. Deakandys Vorschlag ist wohl besser. |
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| 16.04.2004, 15:20 | Patrick | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Deakandy, kannst du mir den 1. Schritt zeigen, ich weiß nicht, ob meins richtig ist. |
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| 16.04.2004, 15:22 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
|X - 2| --------- > X |X+ 5| Also Nun für x>0 für x<0 Ich glaube so funktioniert das. Sicher bin ich mir aber gerade auch nciht mehr hmmm 
Nee ich glaube ich habe einen Fehler das sieht scheiße aus... |
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| 16.04.2004, 15:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Macht's doch nicht so kompliziert! Ihr müßt euch doch nur überlegen: Wann ändern die Terme x-2 bzw. x+5 ihr Vorzeichen? Für x-2: links von 2 negativ, rechts von zwei positiv Für x+5: links von -5 negativ, rechts von -5 positiv Also müßt ihr die folgenden drei Fälle unterscheiden: 1. Fall: x<-5 (beide Terme negativ, Betragsstriche weglassen und von allen Summanden die Vorzeichen ändern: -x+2; -x-5) 2. Fall: -5<x<=2 (x-2 wird negativ oder 0, also Betragsstriche weglassen und Vorzeichen ändern: -x+2; x+5 ist positiv, also weg mit den Betragsstrichen) 3. Fall: x>2 (beide Terme positiv, weg mit den Betragsstrichen) Der 1. und der 3. Fall können gemeinsam behandelt werden, da sich die Vorzeichenänderung in Zähler und Nenner wegkürzt. Jetzt in beiden Fällen I (1./3.) und II (2.) die Ungleichung lösen und zum Schluß mit der Fallbedingung koppeln! |
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| 16.04.2004, 17:38 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mal was Anschauliches dazu: Die linke Seite der Ungleichung lässt sich in einen Betrag zusammenfassen: und sieht so aus Ohne Betragstriche hätte das so ausgesehen: Man sieht: Alle negativen Werte werden wegen des Betrages Betragstriche an der x-Achse nach oben gespiegelt. Die rechte Seite stellt die funktion zu y=x, also die Winkelhalbierende des ersten Quadranten dar. Der Schnittpunkt dieser Funktion mit der Betragsfunktion gibt die Grenze an. Links davon ist die Ungleichung offenbar erfüllt, da ">" "oberhalb von" bedeutet. Somit hat man schomma eine ungefähre Vorstellung, was rauskommen muss. Zur Läsung: Da wird man wohl oder übel in den sauren Leopold´schen Apfel beissen müssen. Die rechte Seite kann ich so annehmen, weil ein Betrag immer größer ist als eine negative Zahl. gruss Johko |
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| 16.04.2004, 19:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine mögliche Lösung geht so. Wir unterscheiden zunächst zwei Fälle: (I) x<0 und (II) x>=0 (I) x<0 Wegen der Beträge ist die linke Seite niemals negativ, die rechte ist es aber gemäß Voraussetzung (I). Damit ist die Ungleichung immer wahr (positiv > negativ). Alle x<0 außer x=-5 (dort ist der Bruch nicht definiert) sind Lösungen. (II) x>=0 Wir unterscheiden die Unterfälle (a) x<=2 und (b) x>2 (II)(a) 0<=x<=2 Der Term x-2 ist negativ oder 0, also gilt: |x-2| = -(x-2) = -x+2 Der Term x+5 ist positiv, also gilt: |x+5| = x+5 Durch Multiplikation mit x+5 (ist nach (II)(a) positiv, Größerzeichen bleibt!) erhält man -x+2 > x·(x+5) 0 > x²+6x-2 0 > (x+3)²-11 11 > (x+3)² (x+3)² < 11 -wrz(11) < x+3 < wrz(11) (schreibe wrz für die Wurzel) -wrz(11)-3 < x < wrz(11)-3 (Allgemein gilt: t²<a ist gleichbedeutend mit -wrz(a)<t<wrz(a).) Da für x aber auch noch 0<=x<=2 gelten muß (Voraussetzung (II)(a)), sind in diesem Fall genau die x mit 0<=x<=wrz(11)-3 die Lösungen. (II)(b) x>2 Beide Terme x-2 und x+5 sind positiv. Durch Multiplikation mit x+5 (s.o.) erhält man x-2 > x·(x+5) 0 > x²+4x+2 0 > (x+2)²-2 2 > (x+2)² (x+2)² < 2 -wrz(2) < x+2 < wrz(2) -wrz(2)-2 < x < wrz(2)-2 Da für x aber auch noch x>2 gelten muß (nach (II)(b)), löst kein solches x die letzte Ungleichung. Zusammenfassung: Die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung ist L = ]-oo ; -5[ vereinigt ] -5 ; 0 [ vereinigt [ 0 ; wrz(11)-3 ] , also L = ] -oo ; wrz(11)-3 ] \ {-5} Diese Aufgabe ist sehr rechenfehleranfällig. Ich hoffe, die Lösung stimmt dennoch! Man fragt sich natürlich, welchen Sinn eine solche Aufgabe hat. Vielleicht den: alle Kraft zusammennehmen und an alles Mögliche denken müssen, keinen Fall vergessen, keine Schlurigkeit im logischen Denken. Sonstigen mathematischen Erkenntnisgewinn kann man wohl nicht aus ihr ziehen. |
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| 16.04.2004, 21:02 | Patrick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Lösung der Aufgabe. Werde die mir mal näher anschauen und gucken ob ich jeden Schritt nachvollziehen kann :P Sehr nettes Board und freundlich sind auch alle, werde mal dieses Board hier zu meiner besonderen Liste hinzufügen :] Gruß Patrick |
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