Integrale berechnen

28.04.2008, 12:14

silver_eye

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Integrale berechnen

Hallo zusammen!

Hab probleme bei den folgenden aufgaben:

1) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ \frac{1}{\beta^{2}\cdot\sin(x)^{2}\cdot+\gamma^{2}\cdot\cos(x)^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ \frac{5x-7}{x^{2}-3x+7}~dx \end{eqnarray*}$

also bei der ersten weiß ich garnicht was ich machen soll unglücklich

unglücklich

ich hätte erstmal beta und gamma ausgeklammert aber übersichtlicher wird es dadurch auch nicht. ich vermute das mir die beziehung cos^2(x) + sin^2(x) = 1 weiterhelfen könnte, aber ich wüsste jetzt nicht wie man dahinkommen soll. evntl den bruch aufteilen? kann mir da vllt jemand einen tipp geben? ^^

bei der zweiten bin ich erst so vorgegangen das ich das untere substituiert hab und damit quasi $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \cdot \frac{5x-7}{2x-3} \cdot du \end{eqnarray*}$ stehen hab. da bleib ich jetzt auch hängen unglücklich

unglücklich

soll ich vllt mit polynomdivision und dann noch einer substitution weitermachen? (partialbruchzerlegung wurde bei der übung noch nicht behandelt)

ich hoffe mir kann jemand helfen smile

smile

lg maren

edit: ausversehn 2mal das gleiche geschrieben

28.04.2008, 12:32

klarsoweit

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RE: Integrale berechnen
zu 2: Welche Methoden zur Integration gebrochen rationaler Funktionen kennst du denn?

Und ist das Schulmathe?

28.04.2008, 12:38

silver_eye

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RE: Integrale berechnen
für die aufgaben sollten wir substitution anwenden (glaube sogar auch partielle integration). Eigentlich sollte es noch schulmathematik sein. Ist ja quasi noch abi niveau und das sollte ja noch zur schule gehören. zur hochschule jedenfalls nicht ^^ wenn ich mich irre bitte sagen wo ich es sonst hinposten soll.

28.04.2008, 12:45

klarsoweit

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RE: Integrale berechnen
Nun ja, seinerzeit hatte ich LK Mathe und da haben wir derartige Integrale nicht gemacht. Aber das ist ja schon ein paar Jahre her. Aber ok, wenn ihr das in der Schule macht (Respekt!!! smile

smile

), dann lassen wir das auch hier.

zu 1: hier kannst du im Nenner cos²(x) ausklammern und dann u = tan(x) substituieren.

zu 2: hier kannst du die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt{19}}{2}u + \frac 3 2 \end{eqnarray*}$ verwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2008, 13:15

silver_eye

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Das erste hat geklappt smile

smile

vielen dank Gott

Gott

da brauch ich noch viel übung um sowas auf anhieb zu erkennen und auszunutzen geschockt

geschockt

Beim zweiten versteh ich nicht so ganz den gedankengang unglücklich

unglücklich

warum die (sqrt(19)/2)*u+(2/3) ist u = (x^2-3x+7) ? kann man denn x einfach so mit einem anderen therm ersetzen?

28.04.2008, 13:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von silver_eye
warum die (sqrt(19)/2)*u+(2/3) ist u = (x^2-3x+7) ?

Von u = (x^2-3x+7) ist bei mir nicht die Rede.

Zitat:

Original von silver_eye
kann man denn x einfach so mit einem anderen therm ersetzen?

Im Prinzip ja, wenn man die Substitutionsregel beachtet. smile

smile

EDIT: Man sollte vorher noch etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-7}{x^2-3x+7} = \frac{2,5 \cdot (2x-3) + 0,5}{x^2-3x+7} = 2,5 \cdot \frac{2x-3}{x^2-3x+7} + \frac{0,5}{x^2-3x+7} \end{eqnarray*}$

Beim ersten Bruch muß man u = x²-3x+7 substituieren, beim zweiten Bruch geht die oben genannte Substitution.

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28.04.2008, 13:47

silver_eye

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hmm ok jetzt hab ich einen ziemlich komplizierten therm wenn ich die x ersetze. ehrlich gesagt versteh ich gerade das prinzip nicht das dahinter steckt unglücklich

unglücklich

woher kommt (sqrt(19)/2)*u+(2/3) und was ist u dann in diesem fall? eine neue nicht deklarierte variable die dann mit dem produkt aus (sqrt(19)/2) und der addition mit (2/3) ->x ergeben soll? ok das ist dann nachvollziehbar aber woher dann die werte (sqrt(19)/2) und (2/3) nehmen? muss man bei dem prinzip zb. so wie in der quadratischen ergänzung schauen was ich habe und was ich noch brauche um etwas zu erreichen? kannst du mir vllt das prinzip erläutern? ich seh sowas zum ersten mal geschockt

geschockt

und wie rechne ich denn damit weiter? soll ich ausmultiplizieren und dann gucken was ich noch substituieren kann?

28.04.2008, 13:49

Bjoern1982

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@ klarsoweit

Willst du ihr denn gar nicht verraten wie du darauf gekommen bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Hach...gutes Timing Big Laugh

Big Laugh

28.04.2008, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von silver_eye
hmm ok jetzt hab ich einen ziemlich komplizierten therm wenn ich die x ersetze.

Der sollte sich aber deutlich vereinfachen lassen. Insbesondere wenn du das EDIT von meinem letzten Beitrag beachtest.

Zitat:

Original von silver_eye
woher kommt (sqrt(19)/2)*u+(2/3) und was ist u dann in diesem fall? eine neue nicht deklarierte variable die dann mit dem produkt aus (sqrt(19)/2) und der addition mit (2/3) ->x ergeben soll?

u ist die neue Integrationsvariable, die mit dem x genau in dieser Form zusammenhängt.

Zitat:

Original von silver_eye
aber woher dann die werte (sqrt(19)/2) und (2/3) nehmen? muss man bei dem prinzip zb. so wie in der quadratischen ergänzung schauen was ich habe und was ich noch brauche um etwas zu erreichen? kannst du mir vllt das prinzip erläutern?

Die Erläuterung kommt später, hat aber im Prinzip was mit quadratischer Ergänzung etc. zu tun. Ich halte es für sinnvoller, wenn du das erstmal durchziehst. Um den dahinter stehenden Gedanken können wir uns dann noch kümmern.

Zitat:

Original von silver_eye
ich seh sowas zum ersten mal geschockt

geschockt

Deshalb meine Frage, wie ihr das in der Schule angegangen seid. Offensichtlich gar nicht. Wenn ja, ist es ziemlich blöde, dann solche Aufgaben uz stellen.

28.04.2008, 14:20

Bjoern1982

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Ich muss silver_eye kurz in Schutz nehmen.

Sie hat gestern bewiesen, dass sie durchaus mit komplizierten Substitutionen vertraut ist, wohl eben nicht mit einer vorgegebenen, wo man im ersten Moment nicht sieht wie sie zustande kommt...

Aber ich denke klarsoweit wird es dir dann am Ende verraten smile

smile

Sei nur versichert, dass im Prinzip nichts Außergewöhnliches hier stattfindet, nur ein wenig Spielerei mit dem Zähler des Bruchterms um ihn auf 2 bekannte Stammfunktionen zurückzuführen.

Gruß Björn

28.04.2008, 14:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ich muss silver_eye kurz in Schutz nehmen.

Lieb von dir. smile

smile

Aber sooo böse war ich doch nicht, oder?
Ob meine Vorgehensweise didaktisch sinnvoll ist, kann ich auch nicht sagen. In diesem Fall ist das aber meine bevorzugte Methode.

Das ganze ist eh mal wieder ein Fall, wo man total im Dunkeln tappt, was im Unterricht dran war und welche Voraussetzungen der Fragesteller mitbringt.

28.04.2008, 14:53

Bjoern1982

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Zitat:

Das ganze ist eh mal wieder ein Fall, wo man total im Dunkeln tappt, was im Unterricht dran war und welche Voraussetzungen der Fragesteller mitbringt.

Recht hast du smile

smile

Gestern kam sie schon mit einer Areasinushyperbolikus Substitution, deshalb wollte ich nur kurz erwähnen, dass ich mir vorstellen kann, dass sie auch solche Integrale lösen kann (vom behandelten Stoff her).

Kritisieren will ich deine Methode keinesfalls, nur darauf aufmerksam machen, dass sie nicht verzagen, deinen Weg zu Ende führen soll und dann dich nochmal ausquetschen soll, wie du auf diese Substitution kommst, damit sie bestimmte "Systeme" erkennt Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2008, 14:53

silver_eye

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oke ich hab jetzt einen anderen weg versucht:

ich hab es erstmal umgeformt (danke für den tipp Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
$\begin{eqnarray*} 2\frac{1}{2} \cdot \frac{2x -3}{x^{2}-3x+7} + \frac{\frac{1}{2}}{x^{2}-3x+7} \end{eqnarray*}$

den ersten teil hab ich dann substituiert und integriert womit ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} ln(x^{2}-3x+7) \end{eqnarray*}$ gekommen bin

bei dem zweiten integral hab ich mit 2 erweitert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x^{2}-3x+7)} \end{eqnarray*}$

dann quadratische ergänzung gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2((x-\frac{3}{2})^{2}+4\frac{3}{4})} \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x-\frac{3}{2})^{2}+2(4\frac{3}{4}))} \end{eqnarray*}$

ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2(4\frac{3}{4})}((4\frac{3}{4})(x-\frac{3}{2})^{2}+1))} \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2(4\frac{3}{4})}((\sqrt{4\frac{3}{4}}(x-\frac{3}{2}))^{2}+1))} \end{eqnarray*}$

dann den therm im ()^2 substituiert und nach arctan integriert

wäre das falsch?

28.04.2008, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von silver_eye
ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x-\frac{3}{2})^{2}+2(4\frac{3}{4}))} \end{eqnarray*}$

ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2(4\frac{3}{4})}((4\frac{3}{4})(x-\frac{3}{2})^{2}+1))} \end{eqnarray*}$

Irgendwas ist da schief gelaufen. Wenn man den letzten Term zurückrechnet, kommt man nicht auf den Term davor. Im übrigen würde ich am Anfang das 1/2 aus dem Zähler vor das Integral ziehen, so daß man diesen Faktor nicht die ganze Zeit mitschleppen muß.

28.04.2008, 15:13

silver_eye

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stimmt ich hab die 2 vergessen vor dem 4_3/4
habs bei mir im heft korrigiert. käm ich denn mit dem ansatz aufs richtige ergebnis? (wenn man jetzt vom fehler absieht)

28.04.2008, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von silver_eye
stimmt ich hab die 2 vergessen vor dem 4_3/4

Das paßt aber auch nicht mit dem zweiten Summanden, also der "+ 1".
Ansonsten ist das die Umformung, die zu meiner Substitution paßt. smile

smile

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