Konvergenz von Folgen beweisen

30.11.2005, 19:22

GandalfX86

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Konvergenz von Folgen beweisen

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man eine Nullfolge nachweist?

In der Vorlesung hatten wir für $\begin{eqnarray*} a_n= \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_0:= [\frac {1}{\epsilon}]+1 \end{eqnarray*}$ (mit [..] sind Gauß-Klammern gemeint, keine Ahnung, wie der TEX Code davon ist) gewählt, und sind dann irgendwie auf $\begin{eqnarray*} \mid \frac {1}{n} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ gekommen.

Aber ich habe keine Ahnung wie und warum das funktioniert. Ich denke da müsste ein simples Prinzip hinter diesen Beweisen stecken, nur ich finde es nicht.

30.11.2005, 19:39

Mathespezialschüler

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Verschoben

Das ist einfaches Abschätzen. Aus $\begin{eqnarray*} n>N_0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n>\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1>\frac{1}{\varepsilon}-1+1=\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .

Der Rest dürfte dann klar sein.

Gruß MSS

30.11.2005, 19:40

20_Cent

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die nebenrechnung, mit der man daran kommt, sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{n} - 0\mid = \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => n > \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

jetzt nimmt man die Gaußklammer, damit $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist. Man addiert noch 1, damit es echt größer ist, nicht größer gleich.
also wählt man:

$\begin{eqnarray*} n_0 = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1 \end{eqnarray*}$

mfG 20

30.11.2005, 19:57

GandalfX86

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Danke, das ist einleuchtend. (in der Vorlesung hatte der Prof die Zwischenschritte garnicht hingeschrieben)
Wie kann man denn einen solchen Beweis allgemein führen, wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergent mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist? Dann habe ich ja den Abstand $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid \end{eqnarray*}$ , der für große n immer kleiner werden soll.
Man muss ja dann (wenn ich das richtig verstanden habe) für beliebige $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ nachweisen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, für das $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.
Aber wie macht man das?

01.12.2005, 09:09

klarsoweit

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Ein Ansatz wäre wie folgt:
Du setzt die Definition für a_n sowie den Wert für den vermuteten Grenzwert a in $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ein. Dann löst du nach n auf. Du bekommst ein n, das irgendwie von epsilon abhängt und in der Regel umso größer wird, je kleiner epsilon gewählt wird.

Im weiteren Verlauf von Grenzwertbeweisen quält man sich damit nicht mehr. Man nimmt dann die Grenzwertsätze und bekannte Grenzwerte.

02.12.2005, 10:42

GandalfX86

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Hat jemand dazu einen Link oder sowas, wo das nochmal erklärt wird? In meinem Büchern ist das leider so kurz abgehandelt, dass ich das nur teilweise kapiere. Mein größtes Problem ist, dass die Beweise jedesmal anders ansetzen, und ich nicht weiß wie man auf einen solchen Ansatz kommt.

Leidert sind Folgen auch eines der Lieblingsthemen meines Profs, und ich kann davon ausgehen, dass mindestens ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Beweis in der Vordiplom Klausur im Februar drankommt, und ich habe leider absolut keinen Plan wie ich solche Aufgaben lösen kann. Gestern in der Übung wurden ein paar Beweise vorgerechnet, un ich habe kein Wort verstanden.

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02.12.2005, 13:09

klarsoweit

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Dann schreib doch mal hier rein, was da gerechnet wurde und was du nicht verstanden hast.

02.12.2005, 15:31

GandalfX86

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Meistens wird da ja irgendein $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gewählt, und dann durch eine Abschätzung gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ gelten muss. Aber ich habe keine Ahnung, wie man $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ wählen muss, damit dass funktioniert. Allerdings haben wir dann auch noch ganz andere Verfahren mit 3. Binomischer Formel und so benutzt, und dann durch irgendeine Umformung die Konvergenz bewiesen. Was ich zumindest bräuchte wären ein paar Beispielaufgaben wo dass mal vorgerechnet wurde.
In den Büchern die ich habe wird immer direkt so gearbeitet, dass man durch Umformungen mit bekannten Nullfolgen argumentieren kann, was wir aber nicht sollen.

Zum Beispiel sind das solche Aufgaben, wie sie auf unserem aktuellen Übungsblatt [Link] sind, wo ich absolut nicht weiß, was ich machen soll, um zum Beispiel bei Aufgabe 24 nachzuweisen, dass sie gegen 1/4 konvergiert.
Was ich mir dazuüberlegt hatte: Ich will ein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ finden so daß $\begin{eqnarray*} \mid a_n - \frac{1}{4} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > N_0 \end{eqnarray*}$ gilt. (steht aber im Prinzip auch schon in der Aufgabenstellung) Aber wie komme ich auf ein passendes $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2005, 18:00

klarsoweit

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Zunächst setzt du für a_n den zugehörigen Folgenterm ein. Also:
$\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{4n^2 + n} - 2n - \frac{1}{4} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Die Vorgehensweise ist die, daß man die linke Seite geschickt umformt.
Dabei darf man auch nach oben abschätzen.
Der 1. Umformungsschritt ist, den Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2 + n} - 2n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2 + n} + 2n \end{eqnarray*}$ zu erweitern. Dadurch kommt etwas mit n in den Nenner, was für die weitere Rechnung sehr vorteilhaft ist.
Der nächste Schritt ist, das -1/4 mit auf den Bruch zu bringen. Rechne mal selbst. Wenn du nicht weiter kommst, helfe ich wieder.

11.01.2006, 12:45

GandalfX86

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So langsam wollte ich mich auf die Klausur im Februar vorbereiten, und bin deshalb nochmal auf die oben beschiebene Aufgabe 24 zurückgekommen.

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{4n^2+n}-2n \end{eqnarray*}$ soll den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ haben.

Man kann ja einfach $\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid \end{eqnarray*}$ umformen:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid = ... = \mid \frac{-1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \mid = \frac{1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < \frac{1}{16 \sqrt{4 n^2} + 32n} < \frac{1}{64n} \end{eqnarray*}$

In der Übung hatten wir dann damit weitergearbeitet, aber man kann doch eigentlich statt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{64n} \end{eqnarray*}$ auch noch weiter abschätzen, und daraus $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ machen, oder geht das nicht?

11.01.2006, 14:46

thoroh

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Zitat:

Original von GandalfX86
Man kann ja einfach $\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid \end{eqnarray*}$ umformen:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid = ... = \mid \frac{-1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \mid = \frac{1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \end{eqnarray*}$

Bist du dir sicher, dass die Umformung stimmt?

lg
thoroh

edit: GandalfX86 hat mich überzeugt. Jetzt bin ich mir auch sicher.

11.01.2006, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{1n^2+n}-2n \end{eqnarray*}$ soll den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ haben.

Also vorher wars: $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{4n^2+n}-2n \end{eqnarray*}$

Und bei der Umformung $\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid \end{eqnarray*}$ habe ich auch meine Zweifel.

11.01.2006, 17:55

GandalfX86

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$\begin{eqnarray*} \mid a_n -\frac{1}{4}\mid = \mid \sqrt{4n^2+n} - ( 2n + \frac{1}{4}) \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \mid \frac{4n^2+n - ( 2n + \frac{1}{4})^2}{\sqrt{4n^2+n} + ( 2n + \frac{1}{4})} \mid = \mid \frac{-1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{16 \sqrt{4 n^2 + n} + 32n +4} \end{eqnarray*}$

Die Umformung müsste doch eigentlich so korrekt sein.
Die 1 war übrigends ein Tippfehler...

11.01.2006, 18:06

klarsoweit

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Ahh. Jetzt habe ich es verstanden. smile

smile

Ich hatte eine andere Umformung im Sinn, aber diese ist sogar noch besser.
Ob du das 1/(64n) weiter nach oben zu 1/n abschätzst ist im Grunde egal. Es geht ja jetzt nur noch darum, für jedes epsilon ein N0 zu finden, so daß 1/(64n) < epsilon ist für n > N0. Und das geht für beide Wege.

11.01.2006, 18:20

GandalfX86

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n > \left\lfloor\frac{1}{\epsilon}\right\rfloor = : N_0 \end{eqnarray*}$

Also ist die abschätzung ohne irgendwelche Einschränkungen, und kann soweit ausgeführt werden, bis ich einen "angegenehmen" Ausdruck gefunden habe. Oder muss ich da auf irgendetwas achten.

11.01.2006, 18:25

klarsoweit

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Im Prinzip nicht. Du mußt natürlich immer nach oben abschätzen. Und immer so, daß du einen Term bekommst, der immer noch für große n beliebig klein werden kann.

11.01.2006, 20:25

GandalfX86

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt natürlich immer nach oben abschätzen. Und immer so, daß du einen Term bekommst, der immer noch für große n beliebig klein werden kann.

Das heißt also, dass mich zum Beispiel die Abschätzung $\begin{eqnarray*} ... < n \end{eqnarray*}$ nicht weiter bringen würde?

12.01.2006, 08:52

klarsoweit

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Genau. Mit dieser Abschätzung hast du nichts gewonnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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