affine Abbildungen - Aufstellen der Matrix

30.11.2005, 21:32	KimmeY	Auf diesen Beitrag antworten »
affine Abbildungen - Aufstellen der Matrix Ich find den fehler einfach nicht. also, gegeben sind die Punkte A(1/0) , B(2/2) und C(0/0). Die Bildpunkte lauten A'(0/3), B'(2/4) und C'(0/2). so, also da der Nullpunkt (hier C) verschoben wird muss die matrixdarstellung lauten: $\begin{eqnarray} \alpha : \vec{x'} = A \vec{x} +\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, nun muss ich A bestimmen. Dafür muss ich rausfinden wohin die einheitsvektoren verschoben werden. $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \vec{a} \end{eqnarray}$ daraus folgt dann: $\begin{eqnarray} e_1' = 1 \cdot \vec{a'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ analog kommt für e2 folgendes raus: $\begin{eqnarray} e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= -1 \cdot \vec{a} + 0,5 \cdot \vec{b} \end{eqnarray}$ und damit für das Bild von e2: $\begin{eqnarray} e_2' = -1 \cdot \vec{a'} + 0,5 \cdot \vec{b'} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit also für die Abbildungsgleichung: $\begin{eqnarray} \alpha : \vec{x'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich aber als probe Punkt B einsetzte kommt B' nicht raus wo ist der fehler? danke schonmal EDIT: hab noch ein problemo: $\begin{eqnarray} y: \vec{x'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} \end{eqnarray}$ dann das urbild des Punktes P'(-4/9) also, umkehrabbildung bestimmen: $\begin{eqnarray} \alpha ^-1: \vec{x'} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} \end{eqnarray}$ dann P' einsetzten und P müsste rauskommen, hab da für P folgendes raus: $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{8}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ des passt aber net
30.11.2005, 23:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So richtig verstehe ich nicht, was du da rechnest. Aber vielleicht liegt der folgende Irrtum zugrunde: Daß die Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Einheitsvektoren sind, gilt nur für lineare Abbildungen. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist aber gar nicht linear. Erst wenn du nach Anwendung von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ subtrahierst, ist die zusammengesetzte Abbildung $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ linear: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \, , \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und wegen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt jetzt für $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mapsto - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit hat $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ die Abbildungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und nachträgliches Addieren von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ führt jetzt wieder zu $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zurück.
01.12.2005, 09:31	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ist zwar nicht so elegant, aber dieses ergebnis findest du auch mit x´= ax + by + c y´= dx + ey + f werner
01.12.2005, 13:26	KimmeY	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, danke, ja ich dachte es würde reichen, dann nachher die verschiebung abzuziehen........ also einfach vektor a' bzw. vektor b' zu nehmen, aber nun weiß ich, dass das bei von 1 verschiedenen koeffizienten nicht geht, ich also den vektor o'a' und o'b' nehmen muss und dann auch auf die von euch angegebene matrix......... und bei der 2. aufgabe war ich gestern einfach nur zu blöd, sollte mir mal merken dass -10 nicht -1 sondern 0 ist g* naja, kommt da von wenn man sowas schon im halbschlaf macht ........danke für eure hilfe

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