Partialsumme konvergent => Nullfolge

01.12.2005, 17:35

InfoStudent

Partialsumme konvergent => Nullfolge

Hallo,

es soll folgednes gezeigt werden, konvergiert die Partialsumme

$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum_{n=0}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$

So ist die Partialsumme

$\begin{eqnarray*} r_{k} = \sum_{n=k}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$

eine Nullfolge.

Meine erste Frage ist, darf ich bei der zweiten Folge k von einer Teilfolge von s sprechen, oder ist das vollkommen falsch?

Zweite Frage:

$\begin{eqnarray*} r_{k} = \sum_{n=k}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Es gibt ein Epsilon > 0 so das ab einem best. n0 gilt:
| r_k| < Epsilon für alle n >= n0

Dritte Frage, wie gehe ich da ran, ich weiß zwar, das wenn $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und $\begin{eqnarray*} r_{k} \end{eqnarray*}$ gewisse Ähnlichkeiten mit dem Cauchy Kriterium für Summen hat, aber weiter weiß ich jetzt leider auch nicht mehr...

01.12.2005, 18:48

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Zitat:

Original von InfoStudent
[...] die Partialsumme
$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum_{n=0}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$

Das geht nicht. Entweder du sprichst von der Partialsumme
$\begin{eqnarray*} s_{m} = \sum_{n=0}^m ~a_{n} \end{eqnarray*}$
oder gleich von der Reihe
$\begin{eqnarray*} s = \sum_{n=0}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von InfoStudent
Meine erste Frage ist, darf ich bei der zweiten Folge k von einer Teilfolge von s sprechen, oder ist das vollkommen falsch?

Definitiv falsch. Der Begriff "Teilfolge" ist für eine vollkommen andere Bedeutung reserviert.

01.12.2005, 18:57

InfoStudent

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Ups, mein Fehler, es sollte nur $\begin{eqnarray*} s = \sum_{n=0}^\infty ~a_{n} \end{eqnarray*}$ heißen...

Dann weiter, ist meine Idee mit dem Cauchy-Kriterium, richtig/angebracht?
Wenn nicht, wie könnte man den daran gehen?

01.12.2005, 19:07

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Ich greif noch mal auf die Partialsummen

$\begin{eqnarray*} s_{m} = \sum_{n=0}^m ~a_{n} \end{eqnarray*}$

der Ursprungsreihe zurück: Warum nutzt du nicht einfach, dass im Konvergenzfall $\begin{eqnarray*} r_k = s-s_{k-1} \end{eqnarray*}$ gilt?

01.12.2005, 20:44

InfoStudent

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Also ich habe ja dann um zu zeigen, das $\begin{eqnarray*} r_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist:

Zu zeigen:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , so das ab einem best. $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} | r_k | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow | r_k | = | \sum_{n=0}^\infty~a_n - \sum_{n=0}^{k-1}~a_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$ ist ja nach der Definition, die Partialsumme als auch (im Fall der Konvergenz) der Grentzwert (und das ist hier ja wichtig) der Folge, aber was ist mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{k-1}~a_n \end{eqnarray*}$ ?

Durch die Aufgabe gegeben ist ja:
$\begin{eqnarray*} | \sum_{n=0}^m~a_n - \sum_{n=0}^\infty~a_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt sagen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^m~a_n = \sum_{n=0}^{k-1}~a_n \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, Ich bin leicht verwirrt

02.12.2005, 11:11

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Zitat:

Original von InfoStudent
Stimmt das so, Ich bin leicht verwirrt

Ich auch, wenn ich das lese...

Ich hatte es eigentlich viel leichter gedacht: Von der Ausgangsreihe ist ja bekannt, dass sie konvergiert, mit Wert $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Außerdem konvergiert in diesem Fall die Partialsummenfolge gegen eben diesen Reihenwert $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

Und dann nehme ich mal an, dass du grundlegende Rechenoperationen mit konvergenten Folgen benutzen darfst:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} ~ r_k = \lim\limits_{k\to\infty} (s-s_{k-1}) = s-\lim\limits_{k\to\infty} ~ s_{k-1} = s-s = 0 \end{eqnarray*}$