Lage von Ebenen zueinander

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01.12.2005, 19:55	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
Lage von Ebenen zueinander Folgende Aufgabe ist gestellt: Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2 zueinander. $\begin{eqnarray} E1 : 2x +6y +3z = 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E2 : 2x +2y +2z = 8 \end{eqnarray}$ Der Ansatz mit dem Gaußschen Verfahren: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & 6 & 3 & 12\\ 2 & 2 & 2 & 8\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ I) und II) verrechnen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & 6 & 3 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 4\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 4y +z = 4 \end{eqnarray}$ Soweit ist das mir ja noch klar, wobei ich nicht ganz verstehe, WARUM ich diesen Schritt machen muss. Als Folgeschritt hat mein Lehrer dann aber $\begin{eqnarray} z = t \end{eqnarray}$ gesetzt. Meine Frage: WARUM tut er das? Und was ist der nächste Schritt??? Vielen Dank für jede Hilfe!
01.12.2005, 20:17	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Ich glaube, er versucht die Gleichung der Schnittgerade der beiden Ebenen in Parameterform aufzustellen. Dass die Ebenen nicht parallel sind, sieht man ja sofort. Der nächste Schritt ist, y in Abhängigkeit des Parameters t auszudrücken( $\begin{eqnarray} 4y+z=4 \\ 4y+t=4 \Rightarrow y=\ldots \end{eqnarray}$ ), dann x, dann ist man schon so gut wie fertig.
01.12.2005, 20:19	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Ja, aber woher kommt denn plötzlich der Parameter t? Und wozu brauch ich ihn???
01.12.2005, 20:31	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Also die beiden Ebenen-Gleichungen bilden ein Gleichungssystem. Die Lösunge(en) dieses GLS ergeben alle diejenigen Punkte, für die beide Gleichungen erfüllt sind. Einerseits ist diese Lösung/Schnittmenge natürlich eine Gerade, deren Gleichung nunmal einen Parameter t enthält. Andererseits kann man sich's auch so vorstellen: Er versucht das GLS zu lösen. Dabei wird natürlich nicht für x,y und z je eine konkrete Zahl rauskommen, da man mit 2 Gleichungen nicht 3 Unbekannte berechnen kann. Die Lösung wird also einen Parameter enthalten, worin wiederum zum Ausdruck kommt, dass die Lösung des GLS (=Schnittmenge der Ebenen) eine Gerade ist. Fazit: Er löst das GLS und erhält "nebenbei" die Geradengleichung. Drücke mal y und dann x in Abhängigkeit von t aus. Dann kriegen wir die Geradengleichung. Ich helf dir auch, okay?
01.12.2005, 20:51	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Danke. Also.... $\begin{eqnarray} y= \frac{(4-t)}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= 1 - \frac{(t)}{4} \end{eqnarray}$ Das setze ich das in $\begin{eqnarray} 2x + 6 y +3z = 12 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 2x + 6 (1 - \frac{t}{4}) +3t = 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x + 6 - \frac{(6t)}{4} +3t = 12 // -6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x - \frac{(3t)}{2} +3t = 6 // +\frac{(3t)}{2} / -3t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x = 6 + \frac{(3t)}{2} -3t // durch 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 3 + \frac{(3t)}{4} -\frac{3}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 3 - \frac{(3t)}{4} \end{eqnarray}$
01.12.2005, 21:00	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Wir haben also: $\begin{eqnarray} x=3- \frac{3}{4}t \\ y=1- \frac{1}{4}t \\ z=t \end{eqnarray}$ oder in Vektorform: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Richtig? Das ist schon alles.
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01.12.2005, 21:03	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Woher nimmst du aber die z-Koordinaten 0 und 1?
01.12.2005, 21:07	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Wir hatten doch z=t gesetzt, m.a.W.: $\begin{eqnarray} z=0+t\cdot1 \end{eqnarray}$ .
01.12.2005, 21:08	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Ist die Grundlage dafür das Skalarprodukt?
01.12.2005, 21:15	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Äääh, nein, ich wüßte nicht inwiefern. Eigentlich haben wir nur das GLS gelöst und die Parameterdarstellung einer Geraden benutzt.
01.12.2005, 21:21	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Ebenen zueinander Ach nee.... Mir geht grad ein Licht auf. Jetzt blick ich's! Vielen, vielen Dank!!!

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