Beweis durch vollst. Induktion |
| 28.04.2008, 19:40 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis durch vollst. Induktion ich habe folgendes Problem: Ich möchte mit vollständiger Induktion beweisen: Wenn dann ist durch 6 teilbar. Ich habe das ganze umformuliert in Ich hoffe das stimmt soweit... Meine Überlegung ist: Ich könnte dann doch einfach beweisen, dass die Summe aller (n³+5n) durch 6 teilbar ist und würde damit implizieren, dass das auch für alle Summanden gilt...? |
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| 28.04.2008, 19:45 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis durch vollst. Induktion
Wie kommst du darauf? 6 | 7+5 , also 6 | 7 und 6 | 5 ? Du gehst in der Induktionsvorraussetzung davon aus, dass es ein gibt mit . Nun musst du betrachten. |
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| 28.04.2008, 19:54 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war mein erster Ansatz, aber ich bin dran verzweifelt. Dann werde ich es nochmal versuchen. Hat der weitere Lösungsweg denn etwas mit dem Binominalkoeffizienten bzw. dem Binomischen Lehrsatz zu tun? Ich hatte bei meinen ersten Lösungsversuchen nämlich den Eindruck, da müsste ich mich dann zuerst reinarbeiten. Der Weg wird relativ lang, oder? |
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| 28.04.2008, 19:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht wirklich. du musst nur ausmultiplizieren.
Ein Zweizeiler würde ich sagen 
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| 28.04.2008, 20:26 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir Leid, aber ich blick immer noch nicht durch 
Ausmultiplizieren ergibt Das sagt mir allerdings überhaupt nichts, wenn es überhaupt richtig ist... Sollte ich vielleicht nochmal die Grundlagen wiederholen...? |
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| 28.04.2008, 20:29 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast richtig ausmultipliziert aber dann den Summand 5(n+1) ganz vergessen. |
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| 28.04.2008, 20:42 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch so sagt mir das nichts. Ich werde jetzt erstmal was essen und mir dann nochmal gründlich den Kopf zerbrechen und mich melden wenn ich immer noch nicht weiter komme. Kann doch nicht sein dass ich das nicht allein rauskriege... |
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| 28.04.2008, 21:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann multipliziere mal die letzet Klammer auch noch aus und identifiziere zum einen die Induktionsvorausstzung, die ja eh durch 6 teilbar sein muss. Danach musst du noch zeigen, dass der Resterm auch noch durch 6 teilbar ist. Kleiner Tip: Er ist genau dann durch 6 teilbar, wenn er sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar ist. Hilft das weiter ? Gruß Björn |
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| 28.04.2008, 21:54 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der Tip am Ende hats gebracht. Den Rest hatte ich mir auch schon zusammengereimt 
Ich habe also n³+5n + 3(n²+n+2+1/3) = 6m <=> n³+5n + 2[(3/2)n² + (3/2)n + 3 + (1/2)]=6m Wegen <=> müssen beide Restterme durch 6 teilbar sein. ? |
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| 28.04.2008, 21:58 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo kommt das 1/3 her ? Es sollte 3(n²+n+2) übrig bleiben. Dass das durch 3 teilbar ist, ist wohl einleuchtend
Zeige nun noch dass n²+n+2 durch 2 teilbar ist. Klammere dazu aus den ersten beiden Summanden n aus und ziehe eine eiskalte Schlussfolgerung
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| 28.04.2008, 22:24 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
n(n+1)+2 ? Sorry, ich steh total auf dem Schlauch. Die eiskalte Schlussfolgerung will sich nicht einstellen. Könnte ich nicht auch, abgesehen davon dass es 100x aufwändiger wäre, für 3(n²+n+2) nochmal eine Induktion machen? EDIT: Furchtbar. Wie damals in der Schule an der Tafel 
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| 28.04.2008, 22:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Joa, aber dann bitte nur für n²+n+2 zeigen, dass das für jede natürliche Zahl durch 2 teilbar ist (ohne Rest). Aber was spricht denn gegen n²+n+2=n(n+1)+2 n(n+1) muss ein Produkt aus einer geraden und ungeraden natürlichen Zahl sein. Und was für eine Zahl kommt dann immer heraus ? Gerade oder ungerade oder anders gefragt durch 2 teilbar oder nicht ? |
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| 28.04.2008, 22:34 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kein Kommentar. Ich schiebe das auf die späte Stunde und die Tatsache dass ich vor 4 Jahren das letzte mal mit Mathe zu tun hatte. Danke euch, bei nächsten Beweis wirds dann nur noch halb so hakelig... |
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| 28.04.2008, 22:38 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Heisst das verstanden oder Aufgabe ? |
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| 28.04.2008, 22:39 | Mikadobrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstanden. und nächste Aufgabe
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| 28.04.2008, 22:46 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hehe alles klar
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