Wahrscheinlichkeit maximal eine 4 zu Würfeln

28.04.2008, 19:41

donvito

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Wahrscheinlichkeit maximal eine 4 zu Würfeln

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, bei 4 Würfen mit einem fairen Würfel als größte Augenzahl eine 4 zu erhalten?
Also Bei einem Wurf wäre die Wahrscheinlichkeit für eine 4 1/6. Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl kleiner gleich 4 zu werfen wäre 4/6 = 2/3. Jetzt muss ich im Nenner hinschreiben 6^4 = 81 (wegen vier Würfen) nur, was mache ich jetzt mit dem Zähler? Muss im Zähler stehen 4*4*4*4 oder 4+4+4+4 oder was ganz anderes?

28.04.2008, 19:46

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Tipp: Sei

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ... maximale Augenzahl bei vier Würfen .

Dann ist dein gesuchtes $\begin{eqnarray*} P(M=4) = P(M\leq 4)-P(M\leq 3) \end{eqnarray*}$ .

Warum das so geschrieben? Nun $\begin{eqnarray*} P(M\leq k) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,6 \end{eqnarray*}$ ist sehr einfach zu bestimmen, wenn man über das Maximum nachdenkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2008, 19:52

donvito

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Damit kann ich jetzt leider garnichts anfangen... Stimmt denn mein Ansatz nicht?

28.04.2008, 19:53

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RE: Wahrscheinlichkeit maximal eine 4 zu Würfeln

Zitat:

Original von donvito
Jetzt muss ich im Nenner hinschreiben 6^4 = 81 (wegen vier Würfen)

Richtig.

Zitat:

Original von donvito
Muss im Zähler stehen 4*4*4*4 oder 4+4+4+4 oder was ganz anderes?

Ganz was anderes.

Aber da du $\begin{eqnarray*} 4^4 \end{eqnarray*}$ ansprichst: Das wäre genau die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(M\leq 4) = \frac{4^4}{6^4} \end{eqnarray*}$ ,

denn wenn alle 4 Augenzahlen höchstens 4 sind (also 1,2,3,4), dann ist deren Maximum auch höchstens 4 - aber nicht notwendig genau 4 !!!

Du suchst aber $\begin{eqnarray*} P(M=4) \end{eqnarray*}$ , also was ist zu tun? Jetzt verstehst du hoffentlich meinen letzten Beitrag!

28.04.2008, 19:57

donvito

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Im Zähler muss die Anzahl der Möglichkeiten stehen, die ich "haben" will, also eine 4 bei einem Wurf. Bei zwei Würfen Gäbe es 4*3*2*1 Möglichkeiten. Stimmt das soweit? und wie komme ich nun auf 4 Würfe?

In der Aufgabestellung steht: ...die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der erhaltenen Augenzahlen gleich vier ist. Dann habe ich die Lösung also schon, oder?

28.04.2008, 19:58

AD

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Siehe Edit.

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28.04.2008, 20:07

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Zitat:

Original von donvito
Dann habe ich die Lösung also schon, oder?

Ich seh bisher nix. Was wäre denn deine Lösung?

EDIT: Oha, Don Vito ist aber schnell verschwunden. Na hoffentlich hat er nicht Sollozzo getroffen, sonst verbringt er die nächsten Wochen im Krankenhaus. Big Laugh

Big Laugh

28.04.2008, 20:21

donvito

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Ich habe Tagesschau geguckt Big Laugh

Big Laugh

Wer ist Sollozzo?

Muss mir jetzt mal eine Denkpause erbitten Big Laugh

Big Laugh

Prost

28.04.2008, 20:41

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Zitat:

Original von donvito
Ich habe Tagesschau geguckt Big Laugh

Big Laugh

Wer ist Sollozzo?

Also wenn du das nicht weißt, dann darfst du dich ab sofort nicht mehr Don Vito nennen:

Virgil "Der Türke" Sollozzo - hat einmal zu oft in einem italienischen Restaurant gespeist. smile

smile

28.04.2008, 21:26

donvito

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$\begin{eqnarray*} \frac{4^4}{6^4} -\frac{3^4}{6^4} \end{eqnarray*}$ ?

Achsoo, klar, ich erinner mich. Muss beizeiten mal wieder die Trilogie guggen Big Laugh

Big Laugh

28.04.2008, 21:27

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Freude

02.05.2008, 18:25

donvito

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Aus Sicherheitsgründen frage ich nochmal nach: Wie groß ist denn umgekehrt die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4maligem Würfel die kleinste Zahl eine Vier ist? Funktioniert das nach dem gleichen Prinzip?

P(M=4) = P(M>= 4) -P(M>=5) ?

02.05.2008, 18:35

AD

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Das Minimum der vier Augenzahlen ist eine andere Zufallsgröße, nicht das $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von oben. Um Verwechslungen zu vermeiden, solltest du sie anders nennen.

02.05.2008, 18:41

donvito

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Demnach stimmt mein Rechenweg auch nicht?

aber 3^4/6^4 ist es ja wohl auch nicht, oder?

02.05.2008, 18:56

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Das Problem ist ja wohl spiegelsymmetrisch bezüglich der Augenzahlen: So wie man leicht $\begin{eqnarray*} P(M\leq k) = \frac{k^4}{6^4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,6 \end{eqnarray*}$ sieht, so kann man für die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ... Minimum der vier Augenzahlen

die Beziehung $\begin{eqnarray*} P(N>k) = P(N \geq k+1) = \frac{(6-k)^4}{6^4} \end{eqnarray*}$ aufstellen.

09.02.2016, 14:40

Dingssbums

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Hey, kann mir jemand nochmal erklären wie man darauf kommt, dass $\begin{eqnarray*} P(M=4)=P(M\leq 4)-P(M\leq 3) \end{eqnarray*}$ gilt? Ich verstehe nicht wie man auf das kleiner gleich 3 kommt

09.02.2016, 15:15

HAL 9000

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Stellen wir die Gleichung mal um, so dass eine Summe draus wird:

$\begin{align*} P(M\leq 4) = P(M=4) + P(M\leq 3)\qquad (*) \end{align*}$

Und das gilt zumindest für Zufallsgrößen $\begin{align*} M \end{align*}$ , die nur ganzzahlige Werte annehmen können: Für die ist $\begin{align*} M\leq 4 \end{align*}$ gleichbedeutend damit, dass $\begin{align*} M=4 \end{align*}$ oder andernfalls $\begin{align*} M\leq 3 \end{align*}$ gilt, die Wahrscheinlichkeit für erstgenanntes Ereignis ist dann gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die beiden letztgenannten Ereignisse, d.h. eben (*).

Ohne diese Forderung der Ganzzahligkeit für M würde zunächst nur $\begin{align*} P(M\leq 4) = P(M=4) + P(M<4) \end{align*}$ gelten.

09.02.2016, 15:27

Dingssbums

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Der Knoten im Kopf ist wieder weg.
Danke Freude

Freude

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