Zerlegung

28.04.2008, 20:08

Moni88

Zerlegung

Sei A eine reelle, invertierbare n x n-Matrix. Sei für 1 <= k <= n A_k die reelle k x k Matrix mit (A_k)_ij = A_ij , also der linke obere Ausschnitt aus A der Größe k. Die det(A_k) heißen Hauptminoren von A. A ist positiv definit genau dann, wenn A symmetrisch ist und alle Hauptminoren positiv sind.
Füllen Sie die Lücken im Beweis zum Satz über die Cholesky-Zerlegung:

1. A besitzt eine LR-Zerlegung genau dann, wenn kein Hauptminor verschwindet.
2. Falls A positiv definit ist, so besitzt A eine LR-Zerlegung.
3. Sei L normierte linke untere Dreiecksmatrix, R rechte obere Dreiecksmatrix, A po-
sitiv definit. Dann hat R nur positive Hauptdiagonalelemente.

Was genau soll ich hier eigentlich machen? Soll ich 1. - 3. beweisen?

29.04.2008, 10:39

Sly

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LR Zerlegung Augenzwinkern

Wenn du willst, kannst du nach der heutigen Vorlesung auf die Brücke kommen, wir besprechen unsere Aufgaben da...Ich heiße Gábor und werd (voraussichtlich) mit 2 anderen Kerlen an nem Tisch sitzen.

29.04.2008, 15:39

Moni88

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Also ist das hier der Beweis zu 1?

Zitat:

Original von tigerbine
Die reguläre Matrix A besitzt eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

Alle Hauptabschnittsmatrizen $\begin{eqnarray*} A[k] \end{eqnarray*}$ regulär sind. Eine Hauptabschnittsmatrix ist genau dann regulär, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \det(A[k]) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Besitze A eine LR-Zerlegung. Dann existiert eine normierte untere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} L \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ und eine obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=LR \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} \det(A)=\det(L)\cdot \det(R) \end{eqnarray*}$ und der Regularität von A folgt $\begin{eqnarray*} \det(L)\neq 0,~\det(R) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Da es sich um Dreiecksmatirzen handelt folgt sofort, dass auch alle ihre Hauptabschnittsmatrizen regulär sind.

Durch "Nachrechnen" zeigt man die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} (LA)[k] = L[k]A[k] \quad \forall~k=1,...,n~(*) \end{eqnarray*}$

für jede (nicht notwendigerweise normierte) Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} L \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ . Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} \det(A[k]) &&= \det(LR[k]) = \det(L[k]R[k])= \\&&=\det(L[k])\cdot\det(R[k]) \neq 0\qquad \forall~k=1,...,n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Seien alle Hauptabschnittsmatrizen positiv. Die Existenz der LR-Zerlegung weißt man durch die in diesem Falle Wohldefiniertheit des Algorithmus ihrer Berechnung nach. Es muss also gezeigt werden, dass alle Pivotelemente $\begin{eqnarray*} a_{ii}^{(i)},~i = 1,...,n-1 \end{eqnarray*}$ von Null verschieden sind. Der Beweis wird durch Induktion geführt:

$\begin{eqnarray*} \text{IA: }&& i=1,~a_{11}^{(1)} = \det(A[1]) \neq 0 \text{ nach Voraussetzung}\\\\\text{IV: } && \text{ Sei nun }a_{ii}^{i} \neq 0 \text{ für ein } 1 \leq i < n-1\\\\\text{IS: }&& \text{Aus der IV folgt die Existenz einer Matrix} \\ && A^{(i+1)} = L_i \cdot L_1 \cdot A \\\\&&\text{Durch sukzessive Anwendung von (*) folgt} \\&&A^{(i+1)}[i+1] = L_i[i+1]...L_1[i+1]A[i+1]\\\\&&\text{Mit der Determinantenmultiplikation folgt dann} \\&& \det(A^{(i+1)})[i+1]) = \det(L_i[i+1])\cdot ...\cdot \det(L_1[i+1]) \cdot \det(A[i+1]) \\\\ &&\text{Da } A^{(i+1)}[i+1] \text{offenbar eine obere Dreiecksmatrix darstellt mit} \\&& a_{i+1,i+1}^{(i+1)} \neq 0 \text{ als letzten Diagonalelement, folgt hieraus wegen } \\&& \det(A^{(i+1)}[i+1]) \neq 0 \text{ sofort } a_{i+1,i+1}^{(i+1)} \neq 0 \end{eqnarray*}$

aber wie geht der Rest? Hab ich das überhaupt richtig verstanden? Find die Aufgabe mal wieder sehr komisch formuliert

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