Zerlegung

Neue Frage »

Moni88 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung
Sei A eine reelle, invertierbare n x n-Matrix. Sei für 1 <= k <= n A_k die reelle k x k Matrix mit (A_k)_ij = A_ij , also der linke obere Ausschnitt aus A der Größe k. Die det(A_k) heißen Hauptminoren von A. A ist positiv definit genau dann, wenn A symmetrisch ist und alle Hauptminoren positiv sind.
Füllen Sie die Lücken im Beweis zum Satz über die Cholesky-Zerlegung:

1. A besitzt eine LR-Zerlegung genau dann, wenn kein Hauptminor verschwindet.
2. Falls A positiv definit ist, so besitzt A eine LR-Zerlegung.
3. Sei L normierte linke untere Dreiecksmatrix, R rechte obere Dreiecksmatrix, A po-
sitiv definit. Dann hat R nur positive Hauptdiagonalelemente.

Was genau soll ich hier eigentlich machen? Soll ich 1. - 3. beweisen?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

LR Zerlegung Augenzwinkern

Wenn du willst, kannst du nach der heutigen Vorlesung auf die Brücke kommen, wir besprechen unsere Aufgaben da...Ich heiße Gábor und werd (voraussichtlich) mit 2 anderen Kerlen an nem Tisch sitzen.
Moni88 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das hier der Beweis zu 1?
Zitat:
Original von tigerbine
Die reguläre Matrix A besitzt eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung



Alle Hauptabschnittsmatrizen regulär sind. Eine Hauptabschnittsmatrix ist genau dann regulär, wenn gilt .


Beweis:



Besitze A eine LR-Zerlegung. Dann existiert eine normierte untere Dreiecksmatrix und eine obere Dreiecksmatrix mit . Aus und der Regularität von A folgt . Da es sich um Dreiecksmatirzen handelt folgt sofort, dass auch alle ihre Hauptabschnittsmatrizen regulär sind.

Durch "Nachrechnen" zeigt man die Gültigkeit von



für jede (nicht notwendigerweise normierte) Dreiecksmatrix. Damit folgt:






Seien alle Hauptabschnittsmatrizen positiv. Die Existenz der LR-Zerlegung weißt man durch die in diesem Falle Wohldefiniertheit des Algorithmus ihrer Berechnung nach. Es muss also gezeigt werden, dass alle Pivotelemente von Null verschieden sind. Der Beweis wird durch Induktion geführt:




aber wie geht der Rest? Hab ich das überhaupt richtig verstanden? Find die Aufgabe mal wieder sehr komisch formuliert
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »