Grenzwertbeweis

01.12.2005, 22:16

Passepartout

Grenzwertbeweis

Hallo Ihr alle,

wir machen gerade Grenzwerte und beweisen Konvergenzen. Da ich nicht genau weiß, ob ich das schon so alles richtig verstehe, wollte ich einfach mal einen einfachen Beweis posten, den ich eigenständig angefertig habe. Sieht meines Erachtens soweit gut aus, aber lasse mich gern belehren smile

Ok.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit dem allgemeinen Glied $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Behauptung:
Die Folge konvergiert. Der Grenzwert ist gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} a = \lim_{n\to\infty} a_n =1 \end{eqnarray*}$

Beweis
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N = \frac{1}{(1-\epsilon)} \end{eqnarray*}$ gegeben, dann gilt für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \wedge n > N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_n-a| = \left|\frac{n}{n+1} -1\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{N+1} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Schöne Grüße Wink

,
Michael

01.12.2005, 22:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist zwar richtig, aber das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist nicht so gewählt, wie du es haben wolltest. Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N+1}=\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .

Stell die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N+1}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ nochmal nach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ um, diesmal aber richtig! Augenzwinkern

Gruß MSS

01.12.2005, 22:31

Passepartout

Auf diesen Beitrag antworten »

neuer Versuch
Hallo,

danke für Deine flinke Antwort smile

wenn ich also:

$\begin{eqnarray*} N := \frac{1-\epsilon}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wähle, gehts?

Ist es dann kein Problem, dass N, bei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ja auch ggf. kleiner als 0 werden kann? Ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig klein sein soll, aber explizit steht das ja nun nirgends...

Gruß Wink

,
Michael

01.12.2005, 23:23

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: neuer Versuch

Zitat:

Original von Passepartout
Hallo,

danke für Deine flinke Antwort smile

wenn ich also:

$\begin{eqnarray*} N := \frac{1-\epsilon}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wähle, gehts?

Passt!

02.12.2005, 18:18

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Passepartout
Ist es dann kein Problem, dass N, bei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ja auch ggf. kleiner als 0 werden kann?

Das ist deswegen egal, weil es dann mit diesem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eben auch noch klappt. Es funktioniert dann also für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Das wird ja genau dann negativ, wenn $\begin{eqnarray*} \varepsilon>1 \end{eqnarray*}$ ist. Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist dann deswegen klar, weil der Bruch ja sowieso immer $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß MSS

05.12.2005, 18:56

Wohlstandskind

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachweis,dass die Folge einen grenzwert hat
heyhoe,

ich weiss net ob ich mit meiner frage hier in dem bereich richtig bin, aber ich schreib moin ne kursarbeit und komm hier einfach net weiter und dachte mir vllt. könnte mir einer ode eine von euch bitte helfen.
Also auf dem Aufgabenblatt steht,dass man nachweisen soll, dass die folge an=3n-2/n einen grenzwert hat.
Wie kann ich den grenzwert nachweisen?

mfg Tina und dankeschön im voraus

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertbeweis

Verwandte Themen