Grenzwert einer Funktion

02.12.2005, 13:12

mabu

Grenzwert einer Funktion

Hi Leute,

sorry das ich hier immer nur Fragen stelle Hilfe

, aber es ist einfach echt super wie schnell man hier Hilfe bekommt.

Diesmal komme ich bei der Grenzwertbestimmung einer Funktion nicht weiter, bzw finde keinen Ansatz. Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich finde einfach keine Möglichkeit die 5. Wurzel zu eliminieren. Für Anregungen wäre ich euch sehr dankbar!

Gruß
mabu

PS: Die Aufgabe soll ohne Differentialrechnung gelöst werden.

02.12.2005, 14:31

therisen

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Hi,
wende die l'Hospitalschen Regeln an, d.h. bilde jeweils die Ableitung von Zähler und Nenner und lass x gegen Null laufen.

Gruß, therisen

02.12.2005, 15:12

mabu

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Ja das wäre mit Sicherheit die eleganteste Lösung. Aber ganz unten in meinem Beitrag hab ich ja geschrieben das die Aufgabe ohne Differentialrechnung gelöst werden soll.
Also muss es noch eine andere Möglichkeit als l'Hospital geben.

gruß mabu

02.12.2005, 15:41

brunsi

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Dann bleibt dir meiner meinung nur die graphische lösung

02.12.2005, 16:06

mabu

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Hmm das wäre aber sehr gemein von meinem Prof.
Falls niemand rat weiß werd ich ihn mal konsultieren und gegebenfalls die Lösung posten.

mfg
mabu

02.12.2005, 17:19

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Bei Quadratwurzeln kennst du vielleicht den Trick mit der binomischen Formel - bei größeren Wurzeln klappt das so ähnlich:

Benutze $\begin{eqnarray*} a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) \end{eqnarray*}$ mit passenden $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

02.12.2005, 18:12

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von therisen
wende die l'Hospitalschen Regeln an

Lies dir das mal durch! Augenzwinkern

Gruß MSS

02.12.2005, 18:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von therisen
wende die l'Hospitalschen Regeln an

Lies dir das mal durch! Augenzwinkern

Gruß MSS

Ich möchte einwenden, daß man l'Hosipital in jedem Fall anwenden darf.
Das gibt da keinen Zirkelschluß.
Da dies in der Aufgabe nicht erlaubt ist, muß man einen anderen Weg gehen. Und dein Link liefert den richtigen Tipp.
Man betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[5]{1+x} \end{eqnarray*}$
Der gesuchte Grenzwert ist f'(1).

02.12.2005, 18:48

Mathespezialschüler

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Natürlich kann man das immer anwenden, vorausgesetzt man kennt die Ableitung schon. Aber wenn man sie schon kennt, dann hat man sofort auch den Grenzwert des Differenzenquotienten und l'Hospital ist dann einfach mal sinnlos. Selbst dann ist es doch so, dass ich die Ableitung berechnen will und sie dabei benutze. Und wenn ich sie schon kenne, dann brauch ich kein L'Hospital.

Gruß MSS

03.12.2005, 12:13

mabu

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Bei Quadratwurzeln kennst du vielleicht den Trick mit der binomischen Formel - bei größeren Wurzeln klappt das so ähnlich:

Benutze $\begin{eqnarray*} a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) \end{eqnarray*}$ mit passenden $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

Joar von dem Trick hab ich schon gehört. Nur wäre mir wohl im Leben nicht eingefallen den auf die 5.Wurzel anzuwenden.
Da Bleibt nur zu hoffen das mir sowas in einer Klausur spontan einfällt ;-)
Also ich denke es geht so:

$\begin{eqnarray*} x=(1+x)-1=(\sqrt[5]{1+x})^5-(\sqrt[5]{1})^5 \end{eqnarray*}$

Wenn man das nun so ausmultipliziert wie von AD beschrieben lässt sich die 5. Wurzel im Zähler kürzen.

Dann kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ raus Tanzen

Vielen Dank für den Tip!

mfg
mabu

03.12.2005, 13:28

Leopold

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Kleine Variante: Durch die Substitution $\begin{eqnarray*} x = (t+1)^5 - 1 \end{eqnarray*}$ auf die Umkehrfunktion zurückspielen. Beachte, daß $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ einander bedingen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[5]{1+x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{(t+1)^5 - 1} \end{eqnarray*}$

Unten ausmultiplizieren und vereinfachen, dann $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kürzen und Limes berechnen.
So macht man es ja auch, wenn man die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion allgemein herleitet.

Wer genau hinschaut, stellt natürlich fest, daß das auch nichts anderes als Arthurs Weg ist, nur ein bißchen anders ausgeführt.

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