Wurfparabel ohne Differenzieren ermitteln

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madde Auf diesen Beitrag antworten »
Wurfparabel ohne Differenzieren ermitteln
Hallo,
folgende Aufgabe:

Geg.: Ein Ball wird aus einer Höhe unter 45° nach oben von 1,5 abgeworfen.
Er landet bei 10m.
Ges: Ermittle die Funktionsgleichung der Wurfparabel.

Mit Hilfe der 1. Ableitung kann ich die aufgabe sehr einfach lösen aber der Lehrer will das aber ohne Einsatz der Differentialrechnung.
Erlaubt ist nur die "p-q-Formel", usw. also alles was mit Quadratischen
Glchg zu tun hat, keine Ableitungen.

Meine Idee:

Parabel allgemeine Form: f(x) = ax^2 +bx +c

Punkt (0/1,5) einsetzen und ich erhalte
1,5 = c

Dann sieht meine bisherige Funktion so aus:
f(x) = ax^2 +bx +1,5

Setze ich den Landepunkt (10/0) ein:
0 = 100a + 10b +1,5

Dann kann ich nach a oder b auflösen, forme nach b um:
b = (-1,5-100a)/10 (1. Gleichung)


Nur wie rechne ich dann weiter, mir fehlt noch ein Gleichung damit
ich die zwei Unbekannte bestimmen kann.

Eine Idee war, dass ich den allgemeinen Scheitelpunkt einsetze:

S ist ja:

S( x_s ; y_s) = ( -b/2a ; (4ac-b^2)/4a)

Das setze ich in meine bisherige Fktglchg ein und erstze b mit der 1. Gleichung, löse das auf, dann kommt fast das richtige Ergebniss raus
(kein Rechenfehler, habe es mit MuPAD umgeformt).

Habt ihr noch einen Tipp?

In dem Lösungsweg den ich kurz bei unserem Lehrer gesehen habe, wird nicht mit irgendwelchen Formeln aus der Physik gerechnet sondern nur mit Formeln zu quadratischen Gleichungen, der Rechenweg geht über ca. 2,5 Seiten.

Rauskommen muss:

a= -115/1000,
b=1
c=1,5
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dir fehlt noch die Bedingung mit der Steigung beim Abwurf. Ich denke, dass man die hier dargestellte Eigenschaft von Parabeln zusammen mit dem Wissen, dass eine Parabel die Menge aller Punkte ist, die vom Brennpunkt und einer bestimmten Geraden gleich weit entfernt sind, dem Wissen um den allgemeinen Scheitelpunkt, einer Skizze mit Parabel und ihrer Tangente bei x = 0 und mehr Konzentration als der, die mir gerade zur Verfügung steht, dazu verwenden kann, die Parabelgleichung zu bestimmen.
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

Mh also die ersten beiden Bedingungen liefern dir ja schnell



So weit bist du ja auch und suchst nun noch das a.
Da du weißt dass man mit 45° wirft, weißt du automatisch, dass dein a das größte a ist das folgende bedingung erfüllt:
für

sprich du musst
lösen

dann wirst du auf kommen. Und bei x = 0 erhälst du dann a = 0.115. Hoffe konnte von der Idee her helfen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


und die gerade ist TANGENTE im punkt P1, d.h. einsetzen => quadratische gleichung mit

liefert c = 1.5, b = 1 und a = - 0.115
werner

p.s.: der rechenweg beträgt ca. 10 zeilen
madde Auf diesen Beitrag antworten »

An wernerrin:

Dein Wurzelterm ist ja aus


Du setzt die Wurzel gleich Null. Ich schätze mal du meinst
die Diskriminante = 0. Aber warum das hier geht verstehe
ich auch nicht, da ich ja keine Nullstellen bestimme.
Ich schätze mal es läuft darauf hinaus dass die Tangente
mit der Parabel nur eine Lsg zulässt, deshalb Diskriminante = 0
aber wie gesagt ich dachte bisher das geht nur bei Nullstellen
also wenn die Parabel die x-Achse schneidet.
madde Auf diesen Beitrag antworten »

An henrik:

Ja man muss nur mit den Vorzeichen bei der Ungleichung aufpassen,
a muss neg. sein, bei dir ist es positiv aber der Betrag stimmt.

Danke.
 
 
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke.. das - gehörte davor auch gar nicht dahin Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das setze ich = 0 weil die gerade TANGENTE ist, sonst hast du 2 (oder 0) schnittpunkte und eben keine tangente
und das ist wurst, wo die tangente tangente ist.
werner
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