1^z = 2

03.12.2005, 12:16

IchDerRobot

1^z = 2

Es ist
$\begin{eqnarray*} 1 = e^{2\pi i} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2 = e^{\ln(2)}. \end{eqnarray*}$
Mit
$\begin{eqnarray*} z := 1 + \frac{\ln(2)}{2\pi i} \end{eqnarray*}$
ist dann
$\begin{eqnarray*} 1^z = (e^{2\pi i})^{(1 + \frac{\ln(2)}{2\pi i})} = e^{2\pi i + \ln(2)} = e^{2\pi i} e^{\ln(2)} = 1\cdot 2 = 2. \end{eqnarray*}$

Wo liegen die Fehler in dieser Rechnung? verwirrt

Robot

03.12.2005, 12:48

Mathespezialschüler

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Verschoben, da anscheinend kein echtes Rätsel.

Du hast ein im Komplexen nicht gültiges Potenzgesetz angewandt. Siehe hier.

Gruß MSS

03.12.2005, 12:58

Leopold

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} 1^z \end{eqnarray*}$ ist mehrdeutig:

$\begin{eqnarray*} 1^z = \operatorname{e}^{z \cdot 2 \pi \operatorname{i} k} \end{eqnarray*}$

mit beliebigem $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Für dein konkretes $\begin{eqnarray*} z_0 = 1 + \frac{\ln{2}}{2 \pi \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} 1^{z_0} = \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i} k + k \, \ln{2}} = 2^k \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich eben 1 (was man erwarten würde), für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ aber nun einmal 2.

03.12.2005, 13:00

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Und eine passende Anmerkung aus der Wikipedia:

Zitat:

Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29 :
Potenzen beliebiger komplexer Zahlen mit beliebigen reellen oder sogar komplexen Exponenten lassen sich zwar durch die Formel $\begin{eqnarray*} a^b := \exp (b \cdot \ln a) \end{eqnarray*}$ definieren. Da jedoch der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

Also muss die Rechnung so lauten:

$\begin{eqnarray*} 1^z = \left\{ \exp\left(2k\pi i\cdot \left[ 1 + \frac{\ln(2)}{2\pi i} \right] \right) \bigm| k\in\mathbb{Z} \right\} = \left\{ \exp\left( 2k\pi i + \ln(2) k \right) \bigm| k\in\mathbb{Z} \right\} = \left\{ 2^k \bigm| k\in\mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} 1^z \end{eqnarray*}$ die Menge aller Zweierpotenzen mit ganzzahligen Exponenten. smile

Sch... Eine Minute zu spät.

03.12.2005, 13:01

Mathespezialschüler

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Richtig, ein Fehler war also schon früher - nämlich in der falschen Anwendung der Definition der Potenz.

Gruß MSS

03.12.2005, 13:02

IchDerRobot

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Ja, genau diese beiden Fehler (Potenzdefinition und Potenzgesetz) waren die Antwort auf mein Rätsel - aber wenn es euch nicht rätselhaft genug war... Muss ich ein andermal was besseres auftreiben. *schulterzuck*

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1^z = 2

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