Rang einer Matrix |
| 03.12.2005, 14:14 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Rang einer Matrix ich habe eine Frage zur dem Rang einer Matrix und hoffe mir kann jemand helfen! Also die Aufgabe lautet: Bestimmen sie den Rang der Matrix 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 wenn a) K der Körper mit zwei Elementen, b) K der Körper mit drei Elementen, c) K=Q ist. Also ich weiß wie man den Rang einer MAtrix bestimmt, aber ich kann mit Forderungen in a bis c nichts anfangen! Was muss ich denn an der Vorgehensweise zur Bestimmung des Rangs einer Matrix ändern? Danke schon mal im Vorraus! lg Benne |
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| 03.12.2005, 14:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sollst die Matrix auf Treppennormalform bringen. Dazu darfst Du die Zeilen/Spalten linear kombinieren. Der einzige Unterschied ist das Du eventuel andere Elemente nehmen musst um die Form zu erreichen. Beispiel Ich will die Treppennormalform das heißt ich will Zeile 2 Spalte 1 eine Null haben also heißt das a*1 + 1 mod 2 = 0 Ergo addiere ich einfach Zeile 1 auf 2 drauf da 1 + 1 mod 2 = 0, also Die Matrix hätte jetzt Rang 2 über Jetzt mach ich das selbe Spiel über a*1 + 1 mod 3 = 0 => a = 2 also ensteht Das selbe machst Du jetzt nur mit Paar mehr Spalten/Zeilen. |
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| 03.12.2005, 18:02 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das verstehe ich noch nicht so ganz! Was ist a genau? Ist das die Zahl der Spalte? Oder was? Und F² meint dann den Körper mit zwei Elementen und F³ mit drei? Aber danke schon mal! 
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| 03.12.2005, 18:20 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja.
Was machst Du denn wenn Du den Gaußschen Algorithmus auf reelle Matrizen anwendest? Du machst folgendes Jetzt willst Du in Zeile 2 Spalte 1 eine Null erzeugen. Also addierst Du ein vielfaches der ersten Zeile zur zweiten dazu. Da uns nur das vordere Element interessiert um die Umformung zu finden schreib ich dann einfach a*1 + 1 = 0 Der Rest ergibt sich dann durch anwenden der Umformung nachdem wir das a gefunden haben. In dem fall ist a = -1 und es ergibt sich So und da es in einigen Körpern nicht unbedingt einsichtig ist was denn dieses "a" ist was wir brauchen schreib ich das immer so hin wenn ich nicht in R bin. |
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| 04.12.2005, 14:19 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dieses mod heißt doch ganzzahlig durch zwei teilen. Oder? Also wenn ich das doch jetzt mal auf meine Aufgabe anwende, steht doch da folgendes: 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 Das ist ja die Ausgangsmatrix, also muss ich jetzt in der ersten Spalte und fünften Zeile eine Null haben. Also rechne ich doch -1 mal die erste plus die fünfte mod 2!oder? Aber wenn ich das doch jetzt in der fünften Zeile und dritten Spalte mache, steht doch da: -1 mal 0 plus 1 mod zwei! Aber 1 mod zwei ist doch auch Null! Oder nicht? DAnn ständ also in der fünften Zeile: 0 0 0 -1 0 Stimmt das? Oder ist das ganz falsch? lg Benne |
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| 04.12.2005, 14:23 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1 mod 2 = 1 0 mod 2 = 0 1 + 1 mod 2 = 0 1 + 0 mod 2 = 1 0 + 1 mod 2 = 1 Was machst Du also mit Zeile 5 Spalte 1 ?
-1 eins gibt es nicht im Körper mit zwei Elementen. Es gibt die 0 und die 1. Wenn Du mit -1 das inverse der 1 bezüglich addition meinst dann ist -1 = 1 in |
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| 04.12.2005, 14:45 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ahso! Dankeschön! Ich mache also mit 5. Zeile, Spalte 1: I+ V mod 2 Dann steht da also: 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 Stimmt das? Dann muss ja in der 3. Zeile, Spalte 2 eine Null, also rechne ich: II + III mod 2 Oder? dann steht da: 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 Aber da ja jetzt in der 3. Zeile 0 0 0 0 1 steht ist das Gleichungssystem doch nicht lösbar oder? |
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| 04.12.2005, 15:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Umformungen sind richtig, aber unsauber. Du rechnest nicht II + III mod 2. Das wäre keine äquivalente Umformung. Du rechnest II + III da 1 das additive inverse zur 1 in ist. Dadurch das aber die Addition im Körper mit 2 Elementen wie folgt definiert werden kann: a + b := a + b mod 2 rechnest Du effektiv pro Eintrag a + b mod 2.
Du sollst den Rang bestimmen kein GLS lösen. Und ob es lösbar ist hängt vom körper ab in dem wir sind. Aber da ich keine rechte Seite sehe kann ich natürlich auch nicht sagen ob da was lösbar ist oder nicht. Die Determinante wäre 0 was nichtlösbarkeit des inhomogenen und lösbarkeit des homogenen GLS bedeutet. |
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| 04.12.2005, 21:43 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok! In der ersten Zeile müssen doch nur einsen stehen Oder? Wenn ich jetzt weiter mache, steht da folgendes: Ich nehme also die erste Gleichung plus die vierte: 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 Dann muss ich also in der zweiten Spalte, unter der zweite Zeile überall Nullen haben: 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 Dann muss ich in der dritten Spalte unter der dritten Zeile Nullen haben: Habe vorher noch die dritte und letzte Zeile vertauscht: 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Stimmt das soweit bis hier? Und wie gehts dann weiter? |
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| 04.12.2005, 22:45 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt.
In der letzten Zeile ne Null erzeugen und Rang ablesen. Bedenke das Du das für den Körper mit 2 Elementen gemacht hast, ergo musst Du selbiges für den Körper mit 3 Elementen und Q machen. |
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