Geradenschar an Kugel

03.12.2005, 16:13

azur

Geradenschar an Kugel

Hallo,
ich soll berechnen, welche Geraden der Geradenschar $\begin{eqnarray*} \vec x =\left(\begin{array}{c}0\\s\\s\end{array}\right) + r* \left(\begin{array}{c}-2\\1\\1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ Passanten, Tangenten und Sekanten an der Kugel: $\begin{eqnarray*} (\vec x-\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right))^2=4 \end{eqnarray*}$ sind.
Normalerweise habe ich immer die Geradengleichung eingesetzt und dann nach s umgeformt, aber irgendwie komt es mit so vor, als hätte ich einfach zu viele Variablen. Gibt es dort irgendeinen Trick?

cu azur

03.12.2005, 16:28

riwe

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RE: Geradenschar an Kugel
tu es!
dann hast du eine quadrafische gl. für den parameter r,
und wenn D (=ausdruck unter der wurzel der quadr. gl.) > 0 => sekante, D = 0 => tangente, D < 0 => passante
werner

03.12.2005, 16:47

bounce

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jo genau jedoch bin ich der Meinung wenn > 0 dann ist es eine Passante oder ?? weil heißt ja gibt kein Schnittpunkt mit Sekante hat man ja 2 Schnittpunkte und Tangente einen oder bin ich gerade auf den falschen Weg ?

cya

03.12.2005, 17:10

azur

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hallo,
wär es nicht besser nach r umzuformen? ich komme nämlich auf folgende gleichung:

$\begin{eqnarray*} s^2+s(2r-1)+3r^2+6r+3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das umforme nach s bekomme ich wieder eine wurzel unter der r steht. r kann ich bestimmen. unter der wurzel steht dann:

$\begin{eqnarray*} -8r^2-28r-11 \end{eqnarray*}$ was soll ich dann damit machen?

03.12.2005, 17:12

hxh

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mit pq-Formel lösen

03.12.2005, 17:22

azur

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naja. aber dann habe ich 2 Lösungen für r. das heißt ich bekomme sogar noch mehr Lösungen für s. Was nicht sein kann, wenn ich die Tangente suche.

03.12.2005, 19:12

riwe

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du sollst doch den parameter s prüfen, also alles zurück

werner

04.12.2005, 12:18

azur

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wie jetzt? erst nach s auflösen und dann??

04.12.2005, 17:55

riwe

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nein, quadratische gleichung in r erstellen, und dann die diskriminante = 0 setzen, gibt die bedingung(en) für s.
das gibt:
$\begin{eqnarray*} 3r^{2}+r(5+2s)+s^{2}-s+3=0 \text{ und damit }s_{1,2}=2\pm \frac{\sqrt{42}}{4} \end{eqnarray*}$

werner

05.12.2005, 20:34

azur

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ja, dann habe ich zwei Lösungen für s. Für diese Werte von s gibt es nur einen Berührpunkt. Das müsste heißen, dass für diese s die Geraden Tangenten sind.

thx

05.12.2005, 21:09

riwe

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ja, und die berührungspunkte bekommst du mit
$\begin{eqnarray*} r=-\frac{18 \pm \sqrt{42}}{12} \end{eqnarray*}$
und weiters für s > s1 passanten, sekanten sonst
würde ich sagen
werner

17.04.2006, 12:38

Yggr

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moin
ich habe versucht anders an diese Aufgabe heranzugehen und zwar über die Berechnung des Abstandes der Geradenschar zu dem Mittelpunkt des Kreises und der Abstand ist genauso groß wie der radius, also:

$\begin{eqnarray*} d = r = |\vec{n} \times (\vec{m}-\vec{p})|/|\vec{n}| \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec{m} \end{eqnarray*}$ als Ortsvektor zum Kreismittelpunkt und $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ s \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der Stützvektor der Geraden , $\begin{eqnarray*} \vec{n} * \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n} \times (\vec{m}-\vec{p}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -s \\ 1-s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2s \\ s-1 \\ -s-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\mid \begin{pmatrix} 2-2s \\ s-1 \\ -s-6 \end{pmatrix} \mid /\mid \vec{n}\mid = \mid \begin{pmatrix} 2-2s \\ s-1 \\ -s-6 \end{pmatrix} \mid /\sqrt{5} = 2 \end{eqnarray*}$

umgeformt: $\begin{eqnarray*} 4*5 = 20 = \begin{pmatrix} 2-2s \\ s-1 \\ -s-6 \end{pmatrix}² \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich: $\begin{eqnarray*} s = -1/3 \pm \sqrt{-61/18} \end{eqnarray*}$

und solche Ergebnisse habe ich bei anderen Aufgaben diesen Typs mit der Methode auch...

hat einer ne Idee woran das liegt?

danke schonmal...

17.04.2006, 13:00

Poff

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Deine Lösung ist falsch, der richtige Wert ist

s = 2 +- 1/4*sqrt(42)

und dein Fehler liegt hier:

Zitat:

Original von Yggr

mit $\begin{eqnarray*} \vec{m} \end{eqnarray*}$ als Ortsvektor zum Kreismittelpunkt und $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ s \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der Stützvektor der Geraden , $\begin{eqnarray*} \vec{n} * \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rechne mit n = (-2;1;1) und dann klappts.

17.04.2006, 14:22

Yggr

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ahhhh - hatte was bei der Berechnung des Abstandes in den Falschen hals bekommen - danke danke

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Geradenschar an Kugel

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