Koordinatenform der Ebene

17.04.2004, 01:02

frischmilch

Koordinatenform der Ebene

Hallo,

die Koordinatenform:

E: ax1 + bx2 + cx3 = d

(Bundesländerunterschiedliche Formulierungen finde ich schrecklich. So sieht die bei uns aus. Die Koordinatenform. Abitur 2004 Baden-Württemberg.)

Ich habe irgendwo mal gelesen, weiss aber nicht mehr wo und ob das ueberhaupt stimmt:

Ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung?

Ist folgende Aufgabe dann auch einfach zu Lösen:
Erstellen Sie eine neue Ebene, die zu E den Abstand 4 hat.
Kann ich dann einfach
ax1 + bx2 + cx3 = d+4
als Lösung nennen? (die neue Ebene ist natuerlich parallel)

Bin froh ueber jedes kurze Wort dazu,
danke :-)

Grüße,
Johannes.

17.04.2004, 09:50

frischmilch

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darf ich meine Frage eben nochmal spezifizieren?

Gilt das vielleicht nur fuer die Hessesche Normalenform der Ebene? verwirrt

Grüße,
Johannes.

17.04.2004, 13:20

mYthos

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RE: Koordinatenform der Ebene

Zitat:

Original von frischmilch
...
Ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung?

Ist folgende Aufgabe dann auch einfach zu Lösen:
Erstellen Sie eine neue Ebene, die zu E den Abstand 4 hat.
Kann ich dann einfach
ax1 + bx2 + cx3 = d+4
als Lösung nennen? (die neue Ebene ist natuerlich parallel)
...

Nein, d ist noch nicht der Abstand der Ebene zum Ursprung, dazu muss der Normalvektor der Ebene erst normiert (durch den eigenen Betrag dividiert) werden, das nennt man dann die Hesse'sche Normalform:

$\begin{align*} ax_1 + bx_2 + cx_3 - d = 0 | : \sqrt{a^2 +b^2 + c^2} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{(ax_1 + bx_2 + cx_3 - d)}{\sqrt{a^2 +b^2 + c^2}} = 0 \end{align*}$

Der Ausdruck $\begin{align*} d0 = \frac{d}{\sqrt{a^2 +b^2 + c^2}} \end{align*}$ ist nun der Abstand zum Nullpunkt.

Die im Abstand 4 parallelen Ebenen (es gibt deren zwei) lauten dann:

$\begin{align*} \frac{(ax_1 + bx_2 + cx_3 - d)}{\sqrt{a^2 +b^2 + c^2}} = \pm 4 \end{align*}$

Gr
mYthos

17.04.2004, 15:41

frischmilch

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RE: Koordinatenform der Ebene
herzlichen Dank :-)
wir sind hier im süden nächste woch dran (mim abitur) geschockt

17.04.2004, 20:51

Conny_84

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Viel Glück am Mittwoch!!! Ich darf da auch mein "können" zeigen... bin ja mal gespannt auf die neuen Aufgaben - aber ist auch ziemlich aufregend finde ich. Sch*** Reform! X(

17.04.2004, 23:24

Takeshi

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RE: Koordinatenform der Ebene

Zitat:

Original von frischmilch
Hallo,

die Koordinatenform:

E: ax1 + bx2 + cx3 = d

(Bundesländerunterschiedliche Formulierungen finde ich schrecklich. So sieht die bei uns aus. Die Koordinatenform. Abitur 2004 Baden-Württemberg.)

So sieht die Koordinatenform auch bei uns in NRW aus. Wüsste jetzt nicht, wie man die großartig anders schreiben kann.

18.04.2004, 13:52

mYthos

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Sicher gibt es auch andere Bezeichungsweisen:

Statt x1, x2 und x3 wird z.B. gerne x,y,z genommen:

ax + by + cz = d

Die Koordinatendarstellung ist auch nichts anderes als die (ausgeschriebene) Normalvektorform:

$\begin{align*} $\array{a\\b\\c}$.$\array{x\\y\\z}$=d \end{align*}$

oder

$\begin{align*} \vec{N}.\vec{X}=d \end{align*}$

wobei der Vektor N der Normalvektor auf die Ebene ist.

Gr
mYthos

18.04.2004, 14:54

abraxas

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RE: Koordinatenform der Ebene
hmm... ne frage vom unerfahrenen 12t-klässler, der nächstes jahr die schavansche breitseite abkriegt (KNÜPFT DIESE FRAU AUF!)
is'
$\begin{align*} \sqrt{a^2 +b^2 + c^2} \end{align*}$
nich des selbe wie
$\begin{align*} \|a+b+c\| \end{align*}$

aber klar, mit beträgen lässt sich schwerer rechnen...

@ frischmilch... vll hast das in dem zusammenhang mit

$\begin{align*} x_1=d \end{align*}$ gehört... dann is die ebene parallel zur achsenebene (in dem falle die x2x3-ebene) und hat den abstand d. aber das is natürlich der einfachste fall...

18.04.2004, 14:59

Takeshi

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RE: Koordinatenform der Ebene

Zitat:

Original von abraxas
is'
$\begin{align*} \sqrt{a^2 +b^2 + c^2} \end{align*}$
nich des selbe wie
$\begin{align*} \|a+b+c\| \end{align*}$

Nein, da $\begin{align*} \sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{align*}$ nicht das gleiche Augenzwinkern

ist wie $\begin{align*} \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2} \end{align*}$

18.04.2004, 15:04

Steve_FL

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hm...nicht ganz.
Ok, das mit dem Ebenenabstand hast du richtig gesagt @abraxas.

$\begin{align*} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = | $\array{a\\b\\c}$ | \end{align*}$

das hast du wohl falsch verstanden Augenzwinkern

mfg

18.04.2004, 20:42

milky_84

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na ihr da draußen, ich bin auch einer derjenigen die am mittwoch beim mathe abi in BW schwitzen müssen, das problem ist bei mir nur, ich bin auf einem technischen gymnasium und das heißt wir schreiben nach der alten prüfungsordnung aber dadurch das wir ja im selben jahr abi machen wie die mit der neuen werden unsere abiaufgaben ähnlich sein, somit weiß ich net ob ich nach alter oder neuer ordnung lernen muß, der stoff ist ungefähr das gleiche nur die aufgabenstellung ist anders, außerdem sind wir der erste jahrgang der den Taschenrechner mit Graphigfähigkeit voll nutzen darf, von daher liegen die schwerpunkte wo anders......

Naja allen mal viel ERFOLG, denn glück brauchen wir net!!!

19.04.2004, 13:06

frischmilch

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ist bei eurer GTR-Nutzung was anders als bei uns? wir dürfen ihn nur im ersten Teil der Arbeitn icht verwenden, den anderen teil dürfen wir auch "voll" mim gtr machen (nullstellen, wendepunkte, ...)
unser gtr ist natürlich keins dieser cms (?) - geräte

grüße,
johannes.

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