Beweis

04.12.2005, 14:07

Frooke

Beweis

Hallihallo! Ich brauche wieder einmal Hilfe:

Ich habe folgende Aufgabe vor mir:

$\begin{eqnarray*} \text{Beweise folgende Aussage: }\exists ~ p,q \in ~ \mathbb R \backslash \mathbb Q\text{, so daß }p^q=b,~b\in~\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=2 \end{eqnarray*}$

Nun ist meine Lösung folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} \text{Falls }\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in~\mathbb Q\text{, so hat man ein Beispiel gefunden (weil ja }\sqrt{2}\in~\mathbb R \backslash \mathbb Q\text{).} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Falls }\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\not\in~\mathbb Q\text{, so hat man ebenfalls ein Beispiel gefunden (weil ja dann }p=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in~\mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{und }q=\sqrt{2}\in~\mathbb R \backslash \mathbb Q\text{).} \end{eqnarray*}$

Nun geht es mir aber darum, zu zeigen, welches von beiden denn nun das «richtige» Beispiel ist.
Dazu möchte ich entweder zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in~ \mathbb Q \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\not\in~ \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich da am besten ran?

Mein Vorschlag:
Annahme:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in~ \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}}=\frac{a}{b},~a,b\in~\mathbb N,~b \ne \{0,1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2=\left(\frac{a}{b}\right)^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich kann 2 nicht als Bruch hoch Wurzel 2 dargestellt werden. Aber das reicht doch nicht als Beweis... Hilfe

04.12.2005, 14:15

JochenX

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das mit den wurzel2 wusste ich gar nicht egal....

warum willst du das überhaupt noch zeigen?
die existenz hast du doch schon bewiesen.....

11.12.2005, 17:11

Frooke

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Sorry, bin erst jetzt wieder zurück!

Zitat:

Original von LOED
das mit den wurzel2 wusste ich gar nicht egal....

Was genau?

Zitat:

warum willst du das überhaupt noch zeigen?
die existenz hast du doch schon bewiesen.....

Ja klar, ich möchte nun einfach noch zeigen, welches der beiden Beispiele denn nun das richtige ist...
Und ich denke, dass ich in dieser Hinsicht unvollständig bin unglücklich

11.12.2005, 17:36

JochenX

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RE: Beweis

Zitat:

Was genau?

ich war nur von der schreibweise

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=2 \end{eqnarray*}$

total überrascht und dachte, dass müsse etwas tolles sein

Hammer

keine ahnung zum beweis, aber "Und ich denke, dass ich in dieser Hinsicht unvollständig bin" verstehe ich nicht
der beweis ist auf jeden fall auch ohne diesen teil korrekt

11.12.2005, 23:05

4c1d

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Ich denke, dass der Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ nicht so einfach ist. Jedenfalls hat es mein Mathelehrer vor ein paar Jahren als "noch ungelöstes Problem" präsentiert. Auf alle Fälle sollte der Beweis nicht schöner oder kürzer werden, wenn du den Teil noch hinzufügst. Ich würde es einfach so lassen, passt doch.
Edit : Lese gerade, dass es wohl hiermit lösbar wäre.

12.12.2005, 20:07

Frooke

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Danke für die Hilfe. Damit wäre gezeigt, welches Beispiel das Richtige ist smile

Danke!

EDIT: Ne sorry, war ich wohl zu schnell. Es ist zwar naheliegend, aber es zu zeigen dürfte doch noch schwierig sein... Hammer

Aber ich belasse es jetzt dabei.. Ist glaube ich ok so...

12.12.2005, 20:14

Mathespezialschüler

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Naja, schwierig ist es jetzt nicht mehr. Aus dem Link erkennst du doch, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ transzendent ist. Und jede transzendete Zahl ist natürlich auch irrational!

Gruß MSS

12.12.2005, 21:12

Frooke

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Ja stimmt. Sorry... Hammer

28.12.2005, 01:22

KnightMove

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RE: Beweis

Zitat:

Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=2 \end{eqnarray*}$

Ääääähhhhh... wie sieht man das schnell?

28.12.2005, 01:24

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

28.12.2005, 04:36

JochenX

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RE: Beweis

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Was genau?

ich war nur von der schreibweise

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=2 \end{eqnarray*}$

total überrascht und dachte, dass müsse etwas tolles sein

an knightmove, da haben wir uns beide verwirren lassen
mir kams dann auch erst später, als ich versuchen wollte, dass mit logarithmen und e-funktionen umzuformen und es dann plötzlich total simpel da stand

28.12.2005, 12:26

KnightMove

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Stimmt, da stand ich einfach auf der Leitung. Sorry - erst denken, dann fragen...

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