Gemeinsame Verteilung von ZV auf R und N

04.12.2005, 14:50

PsychoCat

Gemeinsame Verteilung von ZV auf R und N

Hallo!
Ich habe folgendes Problem: Wenn ich zwei Zufallsvariablen X und Y habe die entweder beide auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ oder beide auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ verteilt sind, dann weiß ich, wie ich die Verteilung von X+Y oder X-Y oder sowas ausrechnen kann (durch Summen bzw Integrale). Wenn ich aber nun eine ZV X habe, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ verteilt ist und eine Y, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ verteilt ist, wie berechne ich dann eine gemeinsame Verteilung? verwirrt

Um mal konkret zu werden, dann ist es wahrscheinlich einfacher zu verstehen, mein Aufgabenbeispiel:

Zitat:

X soll binomialverteilt sein zu den Parametern n, p und Y soll exponentialverteilt sein zum Parameter a (eigentlich lambda, aber ka wie man das hier erstellt). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(Y-X>t) für t $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

04.12.2005, 15:53

Leopold

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Zufallsgrößen sind ja Abbildungen, die auf dem Ergebnisraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ erklärt sind und reelle Werte besitzen. Dieses $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , das "im Hintergrund läuft", ist für viele Belange, Zufallsgrößen betreffend, unwichtig - und wird irgendeinmal ganz vergessen ...

Doch hier ist es wichtig. Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt ist, dann ist, zumindest wenn man sich $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als von einer Bernoulli-Kette der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ herrührend denkt,

$\begin{eqnarray*} \Omega_1 = \left\{ 0 \, , \, 1 \right\}^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega) = i_1 + i_2 + \ldots + i_n \ \mbox{für} \ \omega = ( i_1 , i_2 , \ldots , i_n ) \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man bei höherem Abstraktionsgrad $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch als Identität auffassen:

$\begin{eqnarray*} \Omega_2 = \{ 0 , 1 , 2 , \ldots , n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ als exponentialverteilte Zufallsgröße hat aber als zugrundeliegenden Ergebnisraum

$\begin{eqnarray*} \Omega_3 = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

oder vielleicht auch

$\begin{eqnarray*} \Omega_4 = \left[ \, 0 \, , \infty \right) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf ganz verschiedenen Ergebnisräumen definiert sind, kann man sie daher weder addieren noch subtrahieren noch sonstwie verknüpfen. Deine Frage ist daher zunächst einmal sinnlos, es sei denn, du setzt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ ausgehend, irgendwie sinnvoll fort, z.B. $\begin{eqnarray*} X(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$ sonst, oder $\begin{eqnarray*} X(\omega) = k \ \mbox{für} \ \omega \in \left[ \, k \, , k+1 \right), \, 0 \leq k \leq n \end{eqnarray*}$ (und 0 sonst), oder irgendwie anders.

Vielleicht solltest du dir das Ganze noch einmal sorgfältig durchdenken.

04.12.2005, 16:02

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Da muss ich widersprechen: Nichts spricht gegen eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ auf dem W-Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{N}\times\mathbb{R}, \wp(\mathbb{N})\otimes\mathfrak{B}, P_1\otimes P_2) \end{eqnarray*}$ mit der Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Und natürlich kann man dann darauf eine messbare Funktion $\begin{eqnarray*} g:\; \mathbb{N}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wie

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=y-x \end{eqnarray*}$

anwenden, deren Resultat $\begin{eqnarray*} g(X,Y) \end{eqnarray*}$ dann wiederum eine reellwertige Zufallsgröße auf diesem Produktraum ist.

04.12.2005, 16:45

PsychoCat

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Ich habe zwar nicht alles verstanden, aber den Einwand wieso das nicht gehen soll, kann ich auch nicht nachvollziehen, zumal die Aufgabe von meinem Professor gestellt wurde und der wird ja (hoffentlich) wissen, was er macht Augenzwinkern

Die Wahrscheinlichkeit P(Y-X<t) ist ja im Grunde die Wahrscheinlichkeit für die Menge {w in Omega: Y(w)-X(w)<t} und diese Menge existiert ja nunmal und ist eine Teilmenge von Omega, also kann man dafür auch eine Wahrscheinlichkeit berechnen oder? Lehrer

Aber wie ich das berechne, weiß ich nun immernoch nicht unglücklich

04.12.2005, 17:32

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Nach der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit gilt

$\begin{eqnarray*} P(Y-X>t) = \sum_{k=0}^n ~ P\left(Y-X>t \bigm| X=k\right)\cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^n ~ P\left(Y>t+k \bigm| X=k\right)\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zudem unabhängig, dann gilt $\begin{eqnarray*} P\left(Y>t+k \bigm| X=k\right) = P\left(Y>t+k\right) \end{eqnarray*}$ . Das dürfte dich erstmal weiterbringen.

04.12.2005, 20:02

Leopold

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Zitat:

Da muss ich widersprechen: ...

@ Arthur

Na gut! Aber mir kommt das so vor, als würde jemand auf den Einwand hin, man könne die Abbildung $\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$ , die jedem Element einer endlichen Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ seine Ordnung zuweist, und die Abbildung $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , die jeder reellen Zahl ihr Quadrat zuordnet, nicht addieren, sagen: Doch, das kann man, wenn man nämlich $\begin{eqnarray*} \Omega = G \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nimmt und für $\begin{eqnarray*} \omega = (g,x) \in \Omega \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ so fortsetzt:

$\begin{eqnarray*} \hat{o}: \ \Omega \to \mathbb{R} \, , \ \ \hat{o}(\omega) = o(g) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat{q}: \ \Omega \to \mathbb{R} \, , \ \ \hat{q}(\omega) = q(x) \end{eqnarray*}$

Habt ihr Wahrscheinlichkeitsleute denn überhaupt keine Hemmungen?

Und jetzt ernsthaft: Welche (praktische oder theoretische) Relevanz hat es, eine binomialverteilte und eine exponentialverteilte Zufallsgröße zu addieren? Kurzum: Wo, außer in dieser Übungsaufgabe, kommt das vor? Ich möchte mich ja durchaus in dieser Hinsicht fortbilden. (Der letzte Satz ist nur halb ironisch gemeint.)

04.12.2005, 20:42

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Bedienungstheorie:

Da kommen sehr häufig exponentialverteilte Zufallsgrößen als Wartezeiten vor. Und wenn man solche Wartezeiten etwa mit festen Bedienzeiten irgendwie verwurstelt, kann man sich sehr wohl sowas vorstellen!

Übrigens: Die festgezurrten W-Räume hattest du ins Spiel gebracht, nicht PsychoCat. Er hat zwar von Zufallsgrößen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gesprochen, aber das sagt ja noch nichts über den W-Raum im Hintergrund aus. Gib doch einfach mal zu, dass du auf dem falschen Dampfer warst, da bricht dir schon kein Zacken aus der Krone. Augenzwinkern

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