Übergreifende Aufgaben zur Analytischen Geometrie - Kontrolle

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Gast2005 Auf diesen Beitrag antworten »
Übergreifende Aufgaben zur Analytischen Geometrie - Kontrolle
Hallo!

Ich hoffe, dass ich mit meinem Anliegen richtig bin. Ich teste mich gerade in beliebigen Aufgaben zur Analytischen Geometrie, da ich demnächst eine Klausur schreibe. Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich richtig gerechnet habe. Werde die Lösungswege dann in anschließenden Posts oder sofort präsentieren und hoffe mal, dass es stimmt. Wink

Aufgabe:
Gegeben sind eine Gerade , eine Ebenenschar und eine Ebene durch:

; ;

a)
Ermittle eine Gleichung der Ebene durch und den Punkt !

b)
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene und ermittle den Spiegelpunkt von bezüglich der Ebene !

c)
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden von und ! Berechne ferner die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und !

d)
Die Ebenen der Schar enthalten eine gemeinsame Gerade. Bestimme eine Gleichung dieser Geraden und zeige, dass sie auch in der Ebene zu liegt! Ist in der Schar enthalten?

Ich werde dann jetzt die Lösungen posten, hoffe mal, dass ihr mich kontrollieren werdet.

Lösungen - Versuch

a)
Der Punkt kann nicht auf der Geraden liegen, da der Richtungsvektor der Geraden in -Richtung 0 ist und somit alle Punkte der Geraden die -Koordinate 7 haben.




b)
Zunächst bringt man die Ebene in die HNF-Form, um den Abstand dieser Ebene vom Ursprung zu ermitteln.




Gesucht ist der Abstand des Punktes von der Ebene . Dazu bildet man eine Parallelebene zu durch den Punkt .




Die Differenz der Abstände zum Ursprung beider Ebenen ist der Abstand des Punktes von der Ebene .



Um den Spiegelpunkt von bezüglich der Ebene zu ermitteln, bildet man eine Gerade mithilfe des Punktes und des Normalenvektores der Ebene .



Anschließend setzt man in ein, um den -Wert des Schnittpunktes zu ermitteln.






Also muss man in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten von zu erhalten.



c)
Um die Schnittgerade von und zu erhalten, setzt man in ein.







Diesen ermittelten Wert setzt man in die Ebenengleichung von ein, um zu errechnen.




Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und lässt sich durch das Gleichsetzen ermitteln.



Da der Schnittpunkt nur die -Koordinate 7 haben kann, vereinfacht sich die Gleichung.




Man erhält den Schnittpunkt .

d)
Um die gemeinsame Gerade der Ebenenschar zu bestimmen, setzt man beispielsweise .




Für dieses Gleichungssystem erhält man eine Lösung, wenn und sind.



Um zu zeigen, dass in liegt, setzt man in ein.





Da unabhängig vom Geradenparameter eine wahre Aussage herauskommt, liegt in .

Um zu überprüfen, ob in der Ebenenschar liegt, muss als eine Ebene der Schar darstellbar sein.

Zunächst prüft man, ob der Punkt in der Ebene .



Da man eine wahre Aussage erhält, liegt der Punkt in der Ebene .

Da von der Ebene der Normalenvektor gegeben ist, müssen die beiden Richtungsvektoren der Scharebenen einen rechten Winkel mit diesem Normalenvektor bilden.



Für den ersten Richtungsvektor erhält man eine wahre Aussage.





Für den zweiten Richtungsvektor erhält man für eine wahre Aussage, sodass gilt und die Ebene auch eine Ebene der Schar ist.

- - - - - - - - - -

Wollte mich an dieser Stelle schon einmal bei allen bedanken, die diese Rechnung kontrollieren. Wink
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

es wäre vielleicht sinnvoll gewesen, nicht alles aufeinmal reinzustellen, das schreckt enorm ab.
Die Rechenwege scheinen mir alle richtig, die Ergebnisse von a) und b) hab ich auch raus.
mfG 20
nenny Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie
Grundrechenarten: Quadrate, Rechtecke
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie
soweit ich das sehe, stimmt alles. bei g_g hast du bei der z-komponente einen vorzeichenfehler = tippfehler
werner
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