Verständnisfragen zu Reihen

04.12.2005, 16:10

Klara

Verständnisfragen zu Reihen

Hallo!
Ich habe einige Fragen zu Reihen, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

1) Gibt es eine "konstante" Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ 1/2 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, wie sieht die dann ausgeschrieben aus und ist sie konvergent?

2) sn soll n-te Partialsumme einer Reihe sein.
ist
a) sn=a1+a2+...+an
b) oder einfach sn=an ?

3) Warum sind Partialsummen unbeschränkt? (Hat sich erledigt wenn 2a) die richtige Antwort ist.)

4) Kann man bei Iterierten Reihen uberhaupt jemals bei dem zweiten Index ankommen? Die erste Summe läuft doch von n bis unendl., die zweite von k bis unendl.. Wenn man also mit n=1 anfinge und k laufen lasse, dann käme man dich niemals bei n=2 an??

5) Noch eine Frage zu einer Aufgabe über Supremum und Infimum:
Es ist zu zeigen, dass
a:=sup(X vereinigt mit Y) $\begin{eqnarray*} \leq min(supX,supY) \end{eqnarray*}$ =:b
supX=:x und supY=:y

Ich dachte, a müsse entweder gleich x oder gleich y sein, schließlich muss die neue Menge doch durch das größere der beiden Suprema beschrenkt werden? *grübel*

Brauch wohl noch eine Weile, bis ich durch dieses Thema wirklich durchsteig...
Grüße, Klara

04.12.2005, 16:12

JochenX

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RE: Verständnisfragen zu Reihen

Zitat:

Original von Klara
1) Gibt es eine "konstante" Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ 1/2 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, wie sieht die dann ausgeschrieben aus und ist sie konvergent?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ 1/2=n*(1/2) \end{eqnarray*}$
überleg dir selbst, warum das so ist

und dann erübrigt sich auch die frage nach der konvergenz

04.12.2005, 16:25

Klara

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RE: Verständnisfragen zu Reihen
Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ 1/2= 1/2 + 1/2 + ... \end{eqnarray*}$ ?
Ist also nicht konvergent, weil unbeschränkt?
Danke!

04.12.2005, 16:26

JochenX

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genau

05.12.2005, 18:02

Sunwater

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zu 4. kann ich dir nur sagen, dass du dir nicht vorstellen darfst, wie du jeden Summanden ausrechnest...

z.B. - kennst du das Cantorsche Diagonalverfahren? - wo man die rationalen Zahlen "durchnummeriert"? - da lässt man auch nicht erst den Zähler gegen unendlich laufen und nimmt dann den Nenner 2... - es geht also auch anders...

06.12.2005, 11:32

Klara

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Danke!
Dachte nur, weil es ja auch quadratische Anordnungen und so gibt & da hat unser Prof extra betont, dass das eben nur Funktioniert wenn man dafür sorgt, dass irgendwann jedes Element getroffen wird. Aber das sind dann ja auch keine Doppelfolgen in dem Sinne der Iterierten Reihe, oder?

06.12.2005, 11:41

Klara

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neue Fragen...
Noch mal eine Frage.
Eine Reihe kann doch sowohl

a) der Wert einer Reihe, also, falls existent, der Grenzwert sein, oder
b) eine Folge (die Folge der Partialsummen).

Wenn ich mir das jetzt aber vorstelle, sieht ersteres für mich wie eine endlose Summe ( $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = k+k+k+... \end{eqnarray*}$ ) (die Summen sollen hier bis unendlich gehen) aus, letzteres aber so ?: (sn)=(k, k+k, k+k+k, k+k+k+k, ...) ?
Hab ich das jetzt richtig verstanden? Wenn ich den Grenzwert berechne nehme ich also immer einfach die n- te Partialsumme der Folge und berechne sie?

06.12.2005, 12:46

JochenX

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RE: neue Fragen...

Zitat:

Original von Klara
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = k+k+k+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = 1+2+3+4+.... \end{eqnarray*}$
du musst für k doch immer einsetzen

06.12.2005, 15:52

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Zitat:

Original von Klara
4) Kann man bei Iterierten Reihen uberhaupt jemals bei dem zweiten Index ankommen? Die erste Summe läuft doch von n bis unendl., die zweite von k bis unendl.. Wenn man also mit n=1 anfinge und k laufen lasse, dann käme man dich niemals bei n=2 an??

Die Symbolik legt nahe, dass eine Reihe eine unendlich Summe ist. Für vielen Betrachtungen ist dieser saloppe Umgang ganz hilfreich, weil er oft intuitiv auf richtige Rechnungen führt, und viele Rechenregeln mit dieser Betrachtungsweise in Einklang zu stehen scheinen.

Aber mathematisch ist das falsch: Es gibt gar keine Summen mit unendlich vielen Gliedern, sondern nur solche mit endlich vielen!

Bei der Reihe sind das die Partialsummen, und nur wenn diese (als Folge) konvergieren, spricht man von einer konvergenten Reihe und bezeichnet den Grenzwert der Partialsummenfolge mit eben diesem $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} ~ a_n \end{eqnarray*}$ .

Also nochmal: Es gibt keine Summen mit unendlich vielen Gliedern!

06.12.2005, 16:38

Klara

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RE: neue Fragen...
Danke!
@LOED
Ach ja, wie die Werte der Reihe aussehen, das weiß ich eigentlich auch, Flüchtigkeitsfehler.

@Arthur Dent
Super, danke, das macht irgendwie auch viel mehr Sinn!

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