Singulärwertzerlegung, Existenzbeweis

04.12.2005, 16:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Singulärwertzerlegung, Existenzbeweis Also ich soll zeigen das es für jede Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{C}^{n,m} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung $\begin{eqnarray} A = HU \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} U \in \mathbb{C}^{n,m} \\| U^HU = I_m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H \in \mathbb{C}^{n,n} \\| H^H = H \wedge x^H Hx \geq 0 \\|\forall x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \geq m \end{eqnarray}$ Das U also isometrisch ist und H positiv semidefinit und hermitesch (komplexkonjugiert transponiert ergibt das selbe) ist. Wir wissen das für jede Matrix im $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{n,m} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung $\begin{eqnarray} A = P\Sigma Q^H \end{eqnarray}$ exisitert wobei P,Q unitär sind. $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ ist dann die Matrix auf dessen Hauptdiagonalen die Wurzeln der Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A^HA \end{eqnarray}$ geordnet nach Größe stehen. Meine Idee war zunächst $\begin{eqnarray} U = \Sigma Q^H \end{eqnarray}$ und H = P zu setzen, dann bin ich aber ganz schnell darauf gekommen das dann $\begin{eqnarray} \Sigma^H \Sigma = I_m \end{eqnarray}$ sein muss und das würde bedeuten das dass nur bei Matrizen $\begin{eqnarray} A^HA \end{eqnarray}$ geht die ausschliesslich 1 als Eigenwert haben. Die Aufgaben stehen im Rahmen der Singulärwertzerlegung also hab ich mir gedacht das es eventuel damit ginge, aber eine Idee hab ich rein garnicht dafür.

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