BWM, 1. Runde 2006 - Seite 2

02.03.2006, 15:44

Mathematisch sauber ist z.B. folgender Minimalbeweis:

Bei diesen Schnitten entstehen aus konvexen Vielecken stets wieder nur konvexe Vielecke. Mit jedem Schnitt kommen zu der Gesamtsumme von Ecken aller Vielecke maximal 4 hinzu.

Nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Schnitten hat man genau $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ Vielecke mit maximal $\begin{eqnarray*} 4(n+1) \end{eqnarray*}$ Ecken. Wenn darunter nun $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Zwanzigecke und der Rest mindestens Dreiecke sein sollen, dann gilt für die Eckenanzahl $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 20m + 3(n+1-m) \leq E \leq 4(n+1) \end{eqnarray*}$ . Für die nach Aufgabenforderung $\begin{eqnarray*} m\geq 100 \end{eqnarray*}$ Zwanzigecke können wir dann weiter folgern $\begin{eqnarray*} 1700\leq 17m \leq n+1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} n \geq 1699 \end{eqnarray*}$ .

02.03.2006, 15:45

therisen

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Zitat:

Original von Lazarus

Zitat:

Original von therisen
@Lazarus: So hatte ich auch ursprünglich argumentiert, aber das reicht noch nicht aus.
[...]

Angesport durch deine Bemerkung hab ich nochmal drüber nachgedacht. Is in der Tat relativ schwer des wasserdicht hinzubekommen, aber ich vermute immernoch das es möglich wäre ...Gibst mir einen Tipp was besser wäre ?

Das blöde ist ja vor allem, dass man, obwohl nicht jeder Schnitt "optimal" sein muss, trotzdem das optimale Ergebnis erhalten kann. Siehe dazu dein zweiter Konstruktionsweg.

Bezeichnet $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die Anzahl der auf dem Tisch liegenden Kanten und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Anzahl der auf dem Tisch liegenden Flächen, so definiere $\begin{eqnarray*} \chi := K-3F \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Differenz $\begin{eqnarray*} \Delta \chi \end{eqnarray*}$ nach einem Schnitt, also wie sich $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ pro Schnitt verändert, wenn dieser durch zwei Kanten geht.

EDIT: Sorry, hatte falsch aus meinem Latex-Dokument abgeschrieben Big Laugh

Gruß, therisen

02.03.2006, 16:00

Lazarus

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ok ich habs nochmal weng probiert:
Ich kann beweisen, das bei konstruktionsweg 1 nicht weniger rauskommen kann, und auch das bei konstruktionsweg 2 nicht weniger rauskommen kann.
nur das es nicht anders geht gelingt mir nicht.

zu deinem Ansatz:
Ich verstehe nicht was in der Definition F ist. Woher setzt du diese Definition ?

Servus

02.03.2006, 16:09

therisen

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Hallo Lazarus,

da hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen. Siehe mein EDIT.

Gruß, therisen

02.03.2006, 16:42

Sly

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Also 1) war klar.

3) umfasste bei mir kaum eine seite, man konnte ohne jegliche Fallunterscheidung durch einfaches Umformen "a > c" und "b > c" beweisen

4) habe ich ähnlich wie die anderen hier, also 1699. Mein "Beweis" appelliert da allerdings eher an den gesunden Menschenverstand, als das ganze besonders mathematisch anzupacken. Ob das gut oder schlecht ist, sei mal dahingestellt.

2) habe ich etwas anders gemacht als die anderen hier. Ich schreibs mal kurz in Ansätzen.

Also erst kurz gezeigt, dass x+y ungleich 0 ist (nicht sonderlich schwer).
Dann

$\begin{eqnarray*} x^3 + y^3 = 4(x^2y + xy^2 + 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+y)(x^2-yx+y^2) = 4xy(x+y) + 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^2-xy+y^2 = 4xy + \frac{4}{x+y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^2-5xy+y^2 = \frac{4}{x+y} \end{eqnarray*}$

Also muss (x+y) ein Teiler von 4 sein, also
(1) x+y = 1
(2) x+y = -1
(3) x+y = 2
(4) x+y = -2
(5) x+y = 4
(6) x+y = -4

(1) und (2) lassen sich rasch widerlegen, da aus der Ausgangsgleichung folgt, dass beide zahlen entweder BEIDE gerade oder ungerade sein müssen.
Bei den anderen vier Fällen einfach einsetzen, sodass eine quadratische Gleichung entsteht: In (4) und (6) war die Diskriminante negativ in (3) und (5) war die Lösung einfach nicht ganzzahlig.

Sagt mal was dazu!
MfG

02.03.2006, 16:45

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Wenn du dir Leopolds Weg oben anschaust, dann ist der ziemlich ähnlich gestrickt.

02.03.2006, 17:32

PSM

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@ Sly:
ich habe bei 2 genauso wie du gerechnet, bloß habe ich noch zusätzlich nachgewiesen, dass man "ohne Bedenken" durch (x+y) dividieren darf, weil weder x=y=0, noch x=-y und somit auch y=-x in der Ausgangsgleichung Sinn machen.

EDIT: habe nicht gesehen, dass du das auch gezeigt hast - sorry.

02.03.2006, 21:22

Sciencefreak

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Hier mal meine Lösungen. Ist irgendwie dumm, dass man nicht direkt Acrobat-Reader-Dateien anhängen kann.

02.03.2006, 22:05

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Beim Minimalitätsbeweis von 4. denken wir offenbar auf einer Wellenlänge . Augenzwinkern

02.03.2006, 22:10

The Rob

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fand die lösung in der pdf datei sehr gut, bis auf die erste, da du die zahl nicht direkt angegeben hast, was gefordert wurde...
aber du solltest trotzdem weiterkommen.
wünsche dann noch den jeweiligen viel glück bei der nächsten runde...

03.03.2006, 00:58

Sciencefreak

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Ich hätte ja Mathematica nehmen können und einfach die Zahl berechnen lassen können, dann würde die Seite aber nicht reichen. Ich habe zumindest alles angegeben, was die Zahl erfüllen muss, damit sie der Bedingung genügt. Ich glaub die Korrekttoren könne sich unter einem Term auch nicht mehr vorstellen. Aber selbst wenn es ihnen nicht gefällt, so ist denoch die Lösung richtig und selbst wenn nur 3 von 4 Aufgaben richtig gelöst wurden kommt man weiter. Es gibt in der 1.Runde eigentlich nie sinnvolle Preise. Letztes Jahr gab es USB-Sticks. Aber da machen sie keinen Unterschied ziwschen 1.Preis und 2.Preis.
Und die dumme Formulierung kommt davon, wenn man am 28.2. um 16 Uhr anfängt und man kine Lust hat die Nacht durchzumachen, also einfach schreiben und nebenbei noch mal lösen und dann meietwegen ein mal Korrekturlesen und abschicken.

03.03.2006, 15:16

Lazarus

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du hättest die zahlen auch statt mit 1ern mit 9ern auffüllen können, das wäre dann erheblich kürzer gewesen Augenzwinkern

wenn du mal sehn willst Augenzwinkern

Zitat:

Lösung:

Zahl Nr. 1:
9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 99 7 999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999

(222x 9; 7; 223x 9) (Quersumme: 4012)

Zahl Nr. 2:
9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 99 8 000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000

(222x 9; 8; 223x 0) (Quersumme: 2006)

05.03.2006, 14:51

The Rob

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ich habs mit dem seummen´zeichen gemacht...
da können sie auf garkeinen fall etwas gegen haben...
wann wird es die auslösung geben? hab zum ersten mal teilgenommen..

05.03.2006, 15:08

Thales

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Zitat:

Original von The Rob
wann wird es die auslösung geben? hab zum ersten mal teilgenommen..

Du wirst im Juni (ziemlich am Anfang) einen Brief mit Deinem Korrekturergebnis und einer Musterlösung bekommen.

06.03.2006, 22:36

The Rob

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ah, vielen dank...
auch wenns noch so lange dauern wird... traurig