BWM, 1. Runde 2006

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Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »
BWM, 1. Runde 2006
Es ist wieder so weit. Im Dezember beginnnt die neue Runde vom Bundeswettbewerb Mathematik, vielleicht weiß ja jemand wo es offizeill die Aufgaben gibt ansonsten kann ich nur noch versuchen mit meinen Gedächtnis ein wenig auf die Reihe zu bekommen oder ihr müsst die aus dem Forum vom Adventskalender nehmen.

Zitat:

1. Man finde zwei aufeinanerfolgende natürliche Zahlen, deren Quersummen jeweils durch 2006 teilbar ist.

2. In einem Dreieck mit den Seitenlängen a,b,c gilt: a²+b²>5c². Man beweise: die Seite c ist dann die kürzeste in dem gegebenen Dreieck.

3. Man beweise: Keine ganzen Zahlen x,y erfüllen die Gleichung
x³+y³=4*(x²y+xy²+1)

4. Gegeben ein quadratisches Stück Papier (auf einem Tisch). Ein Schritt besteht darin, ein Stück papier vom tisch zu nehmen, es durch einen geraden Schnitt in zwei Stücke zu zerteilen und beide Schnittstücke wieder auf den Tisch zu legen.

Wie viele Schnitte (=Schritte) benötigt man mindestens, bis mindestens 100 Zwanzigecke auf dem Tisch liegen?


Bei den ersten 3 müsste alles inhaltlich wichtge drin sein, nur bei der 4.Aufgabe weiß ich nicht mehr genau, ob es 20 Zwanzigecke sind.

Edit3:Bin ich zu blöd um in dem Titel 3 Großbuchstaben auf die Reihe zu bekommen? oder gibt es da irgendeine gemeine Einstellung?

EDIT by therisen: Es sind 100 Zwanzigecke (ausgebessert). Die offiziellen Aufgaben könnt ihr ab sofort hier beziehen: http://www.bundeswettbewerb-mathematik.d...fgaben_06_1.pdf
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte das hier wohl mal als "wichtig" einstufen, damit man sofort den potentiellen "Schummlern" auf die Spur kommt.
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Sciencefreak,
ja, das liegt an einer gemeinen Einstellung. Offenbar ist es nicht erlaubt, Großbuchstaben gefolgt von Zahlen zu schreiben, dagegen ist es erlaubt, Großbuchstaben gefolgt von Buchstaben zu schreiben. Komisch verwirrt
Ich habe es mal für dich geändert Willkommen


Gruß, therisen
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

glaub es warn 100 20-Ecke
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Das war auch zuerst meine vermutung, aber weil beim Matehkalender 20 stand dachte ich er weiß es besser. Aber das kann man auch noch mal nachschauen, wenn die Aufgaben auf der Seite vom Bundeswettbewerb stehen.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

interessant, klingt kompliziert verwirrt
aber mal ne gnz dumme frage: wenn ich mir die erste aufgabe anschau: durch 2006 teilbar, heißt dass da muss dann ne ganze zahl rauskommen? weil alles ist doch im prinzip durch 2006 teilbar^^
wenn ihr das nicht beantworten dürft verstehe ich das smile und keine dummen kommentare LOL Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KimmeY
durch 2006 teilbar, heißt dass da muss dann ne ganze zahl rauskommen?

Ja, das heißt es.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube wirklich dass die Leute eher an der Muttersprache als an allem anderen scheitern werden. Ich glaub da hat irgendwer etwas überlesen oder war dir bewusst, dass dabei die Zahl an sich nicht durch 2006 teilbar sein soll, sondern dessen Quersumme.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

das war mir schon bewusst....... bei ner zahl würds ja wohl kaum funktionieren Augenzwinkern

ne es ging mir nur darum ob halt ne ganze zahl rausgekommen muss oder net, hat sich ja aber nun erledigt smile danke nochmals
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie werden denn eigentlich beim BWM die Lösungen bewertet, nach welchen Kriterien (kenne mich leider nicht aus, weil ich jetzt zum ersten Mal teilnehmen werde)?
Aus dem lwmb kenne ich folgende Bewertung:
auf jede Aufgabe gibt es vier Punkte und die Preise werden je nach erreichter Punktezahl vergeben (z.B. 16-14 Punkte: 1. Preis).
Ist es beim BWM auch so? Wie viele Preise gibt es?

Danke im Voraus.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Also es gibt 1.Preise,2.Preise,3.Preise und Anerkennungen
Zur Bewertung:Auf die Aufgaben gibt es zumindest, was man zugeschickt bekommt keine Punkte sondern Einteilungen in bestimmte Gruppen wie "ohne Beanstandung","ohne wesentliche Mängel"...
Und danach wird dann auch die Zuordnung der Preise getroffen
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Zitat:
Also es gibt 1.Preise,2.Preise,3.Preise und Anerkennungen

So ist es auch beim Landeswettbewerb.
Dann bin ich mal gespannt, ob's noch für einen Preis bei mir reicht.
Die Auswertung bekommt man dann so gegen Juni nach Hause geschickt, oder?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

hm... heute ist Einsendeschluss, nicht wahr? Dann können wir ja erst morgen unsere Lösungen posten.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

oder heute abend wenn die postämter zu machen, es zählt ja der poststempel LOL Hammer
-felix- Auf diesen Beitrag antworten »

wer hat denn hier vom board alles mitgemacht? Meine Wenigkeit zählt dazu, bin mal sehr gespannt, wie das ausgeht. Ist das erstemal, dass ich an einem Mathewettbewerb teilnehme.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mitgemacht.



Gruß, therisen
PK Auf diesen Beitrag antworten »

moi aussi
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Dito.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Bin auch dabei...
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ich nicht unglücklich
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gestern alle Aufgaben gelöst, weil ich die Lösung schon wieder vergessen hatte und aufgeschrieben Big Laugh
Also ich bin auch dabei.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du ja jetzt Zeit und kannst hier Nr.4-6 nachschieben. Augenzwinkern
PK Auf diesen Beitrag antworten »

So, das war's.

Schön bei der 1), man konnte sich sogar zwei x-beliebige Zahlen aussuchen. Meine waren zwar nicht die kleinstmöglichen, aber die eine hat die Quersumme 4012, die andere 2006 und verdammt viele Stellen. Was gibt es dann noch zu beweisen?

Die 3) ließ sich doch komplett über die Dreiecksungleichung und ein bisschen mit binomischen Formeln lösen, oder?

Die 4).... 1699? Ohne richtigen Beweis, deshalb hoffe ich, dass ich die andern beiden richtig hab...

Die 2) hab ich auch, nur nicht mit sehr elegantem Lösungsweg.
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

zu
1) ich denke, es reicht, wenn man zeigt, dass die Zahlen den geforderten Eigenschaften genügen. Und auch ein bisschen erklären, wie man die Zahlen gefunden hat.

2) geschicktes Umformen, bis man Werte für x+y eingrenzen kann, diese ausrechnen und dann in die Gleichung einsetzen, hoffen, dass sie keine Lösung sind, fertig.

3) Auch wieder umformen, mit binomischen Formeln, Dreiecksungleichungen anwenden, Widersprüche durch logisches Schlussfolgern finden, dann bleiben von - ich glaube es waren 9 zu prüfende Fälle - 2 übrig, die nur c<a und c<b zulassen.
Ich halte aber meine Lösung hierzu für vieeeel zu umständlich.

4) komme ich auch auf 1699, wobei ich mir trotz meines Beweises unsicher bin, weil mir diese Aufgabe sehr leicht fiel. Oder musste man sich einen besonderen Schnitt einfallen lassen?

Wie viele Seiten habt ihr gebraucht? Ich habe sechs Seiten geschrieben. Ist das zu viel?

Hoffentlich reicht es noch für die nächste Runde. smile
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe zwei Seiten , die 2) ähnlich wie du, nur bei der 3) weniger Fälle, aber ansonsten, eigentlich hab ich nur gezeigt, dass c nicht die längste Seite sein kann, dann dass es kein gleichseitiges sein kann, dann, dass es durchaus möglich ist, dass es ein gleichschenkliges mit kürzester Seite c gibt, dann noch unter Annahme, dass b kürzer ist als c, gezeigt, dass c die kürzeste sein muss.
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 3) ich habe die Ausgangsungleichung so umgeformt, dass ich eine Summe aus zwei Produkten habe, die größer Null sein müssen. Mit dieser Ungleichung und den Dreiecksungleichungen kann man dann die Fälle, die der Angabe widersprechen, widerlegen.

Wie gesagt, mir gefällt meine Lösung nicht.
Deine Lösung finde ich schon besser.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: BWM, 1. Runde 2006
Zitat:

1. Man finde zwei aufeinanerfolgende natürliche Zahlen, deren Quersummen jeweils durch 2006 teilbar ist.


Kann mal bitte jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe posten oder mir sagen, wo mein Denkfehler liegt. Wenn ich zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen habe, so ist deren Differenz genau 1. Also ist doch auch die Differenz der Quersummen 1. Wie sollen die Quersummen dann beide durch 2006 teilbar sein?

Gruß
Calvin, der vermutlich die Aufgabe falsch verstanden hat verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

PSM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: BWM, 1. Runde 2006
Der Trick ist folgender: wenn du dir eine Zahl suchst, die ganz viele Neuner am Ende hat, dann hat die darauffolgende Zahl statt den Neunern lauter Nullen, und danach eine Eins.
Bsp. (jetzt unabhängig von der Aufgabe): 999+1=1000. Quersummendifferenz??? Klar?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ah *kopfklatsch* Das mit dem Übertrag habe ich natürlich vergessen. Hätte aber trotzdem die Aufgabe nicht ohne Probieren lösen können Augenzwinkern
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich meine Lösungen vorstellen ?
1) 4006 als quersumme ist am leichtesten durch zahlen zu erreichen die nur aus 9nern besteht.
somit hätte die kleinstmögliche zahl 9er und eine 7 (da rest 7).
Als zweite bedingung ergibt sich, das die zweite zahl sowie eine 8 besitzt.
Denke den rest sieht jeder.

2) und 3) sind meiner meinung nach nur schreibarbeit...

4)Ausgangspunkt: Quadratisches Blatt

Durch das Schneiden von Seite zu Seite und dem damit verbundenen abtrennen einer Ecke kann ich die Eckenzahl pro Schnitt um 1 erhöhen. Es gibt keine Möglichkeit durch einen geraden Schnitt mehr „neue“ Ecken entstehen zu lassen.
Argumentieren kann man dabei mit der Konvexität des Körpers.
das erste viereck hat man in 16 schnitten soweit. die inzwischen entstandenen dreiecke benötigen jeweils 17 schnitte.
Somit bekommt man k = 16 + 17 * (n – 1)

Andere Möglichkeit:

Man mache aus dem Quadrat 100 Vierecke, in dem man 99mal einen geraden Schnitt an einer Symmetrieachse ausführt. Danach erhält man durch je 16 Schnitte pro Viereck 100 Zwanzigecke.

Hier bekommt man k = n-1 + 16 * n

k sei jeweils die anzahl der arbeitsschritte, n die anzahl der zwanzigecke.
beidesmal erhält man k= 1699 für n=100

Die anderen beiden aufgaben haben ziemlich nach hohler schreibarbeit ausgesehn, daher habe ich meine scheue nicht überwinden können mich dranzusetzten ..
war meine befürchtung denn gerechtfertigt ?

Servus
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lazarus,

Aufgabe 2 war viel Schreibarbeit (zumindest bei mir), aber Aufgabe 3 ließ sich in maximal einer halben (schön übersichtlich mit Aufgabenstellung) Seite lösen.


Deine Lösung zu Aufgabe 4 ist mMn nicht vollständig. Du hast zwar zwei Strategien angegeben, wie man auf die (minimale) Zahl 1699 kommt, aber nicht wirklich gezeigt, dass es keine bessere geben kann. Und genau darin bestand die Schwierigkeit von Aufgabe 4.

Zitat:
Argumentieren kann man dabei mit der Konvexität des Körpers.


Ist etwas billig Augenzwinkern


EDIT: Außerdem sollten wir noch mit den Lösungen warten:

Zitat:
Es sind auch schon Lösungen, welche eine Woche später ankamen, bewertet worden (Hintergrund: Derjenige war eine Weile in der Endphase der ersten Runde krank, und hat dann diese sonderregelung mit unserem mathe-Lehrer und der mit Langmann ausgehandelt)...



Das hat einer der Korrektoren geschrieben!!


Gruß, therisen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man formt äquivalent um





und berechnet nun für die möglichen Fälle




den Term . Da dabei niemals eine durch 7 teilbare Zahl entsteht, kann das Ganze nicht gehen.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Aufgaben vollständig hätte bearbeiten müssen (um sie einzuschicken) dann hätte ich die Bemerkung
Zitat:
[...]Es gibt keine Möglichkeit durch einen geraden Schnitt mehr „neue“ Ecken entstehen zu lassen. [als jeweils eine mehr]
Argumentieren kann man dabei mit der Konvexität des Körpers.[...]

natürlich ein bisschen ausgeschmückt Augenzwinkern
In der Tat hätte ich einen wahrhaft wunderbaren Beweis doch wäre dieser Rand hier zu knapp um ihn zu fassen LOL Hammer
Tanzen
Servus
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

@Lazarus: So hatte ich auch ursprünglich argumentiert, aber das reicht noch nicht aus.

@Leopold: Ich habe zwar die gleiche Umformung, habe aber dies Abkürzung nicht gesehen und musste letztendlich 4 Fälle explizit durchrechnen traurig


Gruß, therisen
Ari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In der Tat hätte ich einen wahrhaft wunderbaren Beweis doch wäre dieser Rand hier zu knapp um ihn zu fassen

lol Big Laugh

habs auch versucht, aber meine Lösungen wären ganz anders, und ich hab insgesamt 7 Seiten mit Computer *schäm* und einfach fand ich die erst recht nicht... ^^
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Man formt äquivalent um


Ab hier kann man auch einfach argumentieren, dass 4 als kubischer Rest modulo 7 gar nicht auftreten kann:

Für erhält man nämlich .
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PK
Schön bei der 1), man konnte sich sogar zwei x-beliebige Zahlen aussuchen. Meine waren zwar nicht die kleinstmöglichen, aber die eine hat die Quersumme 4012, die andere 2006 und verdammt viele Stellen. Was gibt es dann noch zu beweisen?


Meine haben 445 Stellen. Mit "Richtigkeit des Ergebnisses beweisen" wollten die vermutlich verhindern, dass irgendjemand auf gut Glück irgendwelche Zahlen hinschreibt und hofft, dass sie richtig sind (z.B.: "Meine Lösungen lauten 6^48 und 6^48-1. Die Berechnung dieser Zahlen und ihrer Quersummen seien dem geneigten Korrektor als leichte Übungsaufgabe überlassen." Augenzwinkern )
Vorsichtig wie ich bin hab ich allerdings bis zum Schluss geschwankt, ob ich noch induktiv beweise, dass , habe es dann aber doch sein lassen.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
@Lazarus: So hatte ich auch ursprünglich argumentiert, aber das reicht noch nicht aus.
[...]


Angesport durch deine Bemerkung hab ich nochmal drüber nachgedacht. Is in der Tat relativ schwer des wasserdicht hinzubekommen, aber ich vermute immernoch das es möglich wäre ...Gibst mir einen Tipp was besser wäre ?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

hey, dann hab ich die 2) ja tatsächlich richtig, aber wie würde man die 4) denn jetzt noch weiter beweisen, dass es nicht weniger Wege gibt?
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