Folge von Folgen

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dc Auf diesen Beitrag antworten »
Folge von Folgen
Folgende Aufgabe:

Man zeige, dass die Folge (x_m)_m e N* mit

x_m = ( m² /(mn + 1)²)_n e N*

in l_1 konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.


l_1 ist der Vektorraum aller Folgen (x_n)_n e N, deren Reihe über x_n absolut konvergiert.



greetz
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung würde mich auch interessieren Augenzwinkern haben noch gegeben dass der grenzwert von x_m 1/n^2 ist
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wir haben dort ja eine Folge von Folgen, was aber auch nur eine Doppelfolge ist. Lässt man gehen, so bekommt man in der Tat, dass komponentenweise gegen



geht. Dass geht in , bedeutet dann, dass geht für . Das wiederum heißt:

.

Und da solltet ihr mal eure Ideen publizieren. Augenzwinkern

Gruß MSS
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal!

Wenn ich im letzten Term m gegen unendlich laufen lassen, erhalte ich die konstante Summe von 0, da 1/m gegen Null konvergiert und 1/n^2 - 1/n^2=0 übrig bleibt.
Den Grenzwert zu bestimmen fand ich auch leicht, nur war mir das mit dem "konvergiert in l_1" zu viel Augenzwinkern . Hatte Doppelreihen gebildet aber das triffts ja nicht. Die Kombination aus Limes und Reihe hat mir da gefehlt. Danke jedenfalls!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst das aber nicht einfach so vertauschen! Im Allgemeinen gilt nämlich

.

Da musst du also schon noch ein wenig mehr machen.

Gruiß MSS
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte man könnte wegen den Rechenregeln für Grenzwerte erst den Grenzwert jedes einzelnen Summanden berechnen und dann addieren, was auf 0+0+0.. hinauslaufen würde.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hat nichts mit Rechenregeln von Grenzwerten zu tun. Die Regel



gilt nur für endlich viele Summanden von konvergenten Folgen .

Gruß MSS
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß leider nicht weiter, vielleicht hast du noch einen Hinweis. Also ich muss wohl irgendwas mit der Reihe anfangen erstmal, und dann lim m-->inf bilden, right?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Grenzwert schon in die Reihe "reinziehen". Leider sind die Bezeichnungen hier etwas schlecht, aber nungut. Du musst dafür zeigen, dass die Konvergenz für (!!) gleichmäßig bzgl. ist. Dann kannst du die Grenzübergänge vertauschen.

Gruß MSS
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt "gleichmäßig"? (Und sicher, dass das der richtige Lösungsweg für mich ist, wenn ich diese Frage stelle?)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die gleichmäßige Konvergenz noch nicht kennst, dann ist das ganz sicher nicht der richtige Weg für dich. Augenzwinkern
Aber da ihr euch mit normierten Räumen beschäftigt, müsste das eigentlich bekannt sein. Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf ist die Konvergenz der Funktionenfolge bzgl. der Supremumsnorm . Ist das bekannt? Und der Satz auch?

Gruß MSS
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir garantiert noch nicht gemacht. Wir haben Banachräume kennengelernt, u.a. l_1 versehen mit einer Norm, aber keine gleichmäßige Konvergenz.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte oben noch einen kleinen Fehler, den ich jetzt geändert habe (in meinem vorletzten Post).
Wenn ihr das noch nicht hattet, würde ich jetzt sagen, dass man den Beweis für diese Aussage einfach nachspielen könnte. Allerdings würde das schon ziemlich weit in die Theorie reingreifen und ich kann mir auch nicht vorstellen, dass ihr das machen müsst.
Vll fällt mir ja noch was anderes ein.

Gruß MSS

edit: Ok, es geht mit einer relativ einfachen, sehr elementaren Abschätzung ohne den ganzen Glm. Konvergenz-Schnickschnack.
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Hasse noch Bock die Abschätzung zu schreiben bevor ich vor Müdigkeit tot umfalle? Augenzwinkern In jedem Fall aber danke Kollege!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut. Für gilt:





.

Also ist

.

Die letzte Reihe konvergiert und ist ein fester, von unabhängiger Wert. Also gilt mit :



und letzteres geht gegen für .

Gruß MSS
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