Orthogonale Ebenen

29.04.2008, 14:12

kate88

Orthogonale Ebenen

Hallo! Ich schreibe morgen meine Matheklausur und unserer Lehrer hat uns eine Aufgaben zum üben gegeben. bei dieser jedoch komm ich überhaupt nicht weiter.

Aufgabe:
gegeben ist eine ebene
E: x1 - x2 +6x3 = 2
und eine gerade
g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a) gesucht ist die zu E orthogonale ebene F in der die gerade g liegt. Durch welche Vektoren wird die Ebene F aufgespannt? Geben sie eine Gleichung der Ebene in Parameterform an.
Wandeln sie diese in eine Koordinatengleichung um
b) Berechnen sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen E
c) Die Gerade h ist orthogonal zu g und liegt in E. Geben sie eine gleichung für h an.

a) Ich habe die Ebene E in die Normalengleichung umgeformt:
A(2/0/0)
E: ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die ebene F orthogonal zur Ebene E ist dachte ich mir, muss sie den gleichen Normalenvektor haben:
F: ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ )* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt komm ich aber nicht mehr weiter, ich weiß nicht wie ich das mit der Gerade miteinbringen soll, die Gerade ist ja gleich der Ebene F, also g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ F

ich bitte um hilfe und vorschläge für die weitere Lösung.

29.04.2008, 14:27

marci_

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"Da die ebene F orthogonal zur Ebene E ist dachte ich mir, muss sie den gleichen Normalenvektor haben"

nein! das skalarprodukt der beiden normalenvektoren muss 0 sein!

hast du dir eine skizze gemacht?
daran sieht du schnell, was du nehmen musst

29.04.2008, 14:36

kate88

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achso, kann ich dann einfach irgendeinen vektor nehmen, (??) z.b.
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
da wär das Skalarprodukt ja null oder?

29.04.2008, 14:38

mYthos

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RE: Orthogonale Ebenen
Wenn du mit

Zitat:

Original von kate88
...
Da die ebene F orthogonal zur Ebene E ist dachte ich mir, muss sie den gleichen Normalenvektor haben:
...

gemeint haben solltest, dass die gesuchte Ebene den Normalvektor der gegebenen als Richtungsvektor enthalten muss, dann würdest du richtig liegen. Insofern geht marci_'s Vorschlag in die falsche Richtung, weil das so nicht oder nur schwerer umsetzbar ist.

Die gesuchte Ebene besitzt also den Schnittpunkt der Geraden mit E als Stützpunkt und die beiden Vektoren: Richtungsvektor der Geraden und Normalvektor der Ebene E als Richtungsvektoren und gut ist es.

mY+

EDIT: Das mit dem Normalvektor ist ein Unding. Der von dir erstellte (1;1;0) trifft als Normalvektor einer beliebigen Ebene zwar zu, aber diese Ebene enthält nicht die gegebene Gerade.

29.04.2008, 15:07

mastermaxi1

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Hey also ist vollkommen richtig du nimmst die Geradengleichung und den Normalenvektor der Ebene E und hast dann die Ebene F ind Parameterfrom!
Umwandeln in Normalenform durck Kreuzprodukt der zwei Richtungsvektoren.
b) Geradengleichung in Koordinatenform der Ebene E einsetzen => Schnittpunkt
c) Normalenvektor von F nehmen => liegt in Ebene E . Des mit dem Aufpunkt ist meiner Meinung nach n bissl komplexer da würd ich einfach einen nehmen, bei dem die Ebenengleichung gleich null wird, aber da gibts sicher noch nen einfacheren Weg aber ich komm grad net drauf

29.04.2008, 15:11

kate88

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die gerade eingesetzt in die normalengleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1-1-4t+12 => t=3

damit ergibt sich als Schnittpunkt S (8/1/-1)

F: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8\\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Koordinatenform:
x1= 8 + 2r + s
x2 = 1 -s
x3= -1 -r +6s |*2

x1 + 2x3= 6 + 13s
x2 = 1 - s |*13

x1 + 13x2 + 2x3 = 19

29.04.2008, 15:16

mYthos

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Freilich kommt als Aufpunkt jeder Punkt der Geraden in Betracht, das ist richtig. Also noch einfacher: Nimm als Aufpunkt einfach den Aufpunkt der Geraden. Das war's, was der Maxi sagen wollte! Sehr brav! Lehrer

Das andere, was ..mmaxi.. geschrieben hat, war im Prinzip nichts Neues.

Also, geh's mal ran!

mY+

29.04.2008, 15:18

kate88

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c)

h: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ + r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 13 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wie komm ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ??

29.04.2008, 15:19

kate88

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kann ich als $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen E nehmen???

29.04.2008, 15:22

kate88

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also :

h: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 13 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so richtig?

29.04.2008, 15:22

mYthos

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Noch zu a) !

Kleiner Fehler: Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist 9 ! Wie gesagt, geht auch jeder beliebige andere Punkt der Geraden!

Für c)

Der Richtungsvektor von h ist $\begin{eqnarray*} \vec{n} \times \vec{g} \end{eqnarray*}$ , hier darf als Stützpunkt nur der Schnittpunkt verwendet werden, klar. Dein Richtungsvektor der Geraden h stimmt!

mY+

29.04.2008, 15:32

kate88

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achja stimmt danke!!!!
habe mich verrechnet, aber wenn jetzt dort überall wo die 8 steht ne 9 stehen würde, wäre das alles so richtig??

was bedeutet das zeichen $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ?

29.04.2008, 16:34

mYthos

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Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Verknüpfung "Vektorprodukt" (also wie man den Normalvektor zweier Vektoren berechnet). Du hast ja diesen Vektor richtig herausbekommen, daher ist die Gerade h ansonsten richtig.

mY+

29.04.2008, 16:47

kate88

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achso!!

Danke für die Hilfe!!!

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