Fourier-Koeffizienten

04.12.2005, 23:43

Fourier-Koeffizienten

Hier die Aufgabe:

Fourierkoeffzienten.

Für die 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ periodische Funktion x(t) gilt:

x(t) = -1 für t $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (- $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ; 0)
1 für t $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0 ; $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )

b) Berechnen Sie die Fourierkoeffzienten ak ; bk für alle k :

-> ak=0
bk= $\begin{eqnarray*} \frac{4}{k}\pi \end{eqnarray*}$
a0=0

c) Was sagen Sie zur Geschwindigkeit, mit der die Fourierkoezienten abklingen?

d) Es bezeichne sn(t) die n -te Partialsumme
sn(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{a0}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \end{eqnarray*}$ ak cos(k t) + bk sin(k t):

Stellen sie x(t) und s6(t) für t 2 (0 ; $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) in einem einzigen Bild.

????????
da man die geraden und dei ungeraden anschauen muss, fallen die geraden weg und die ungeraden berechnet man mit 2k+1. Stimmt das?

e) Wie lautet die Fourier-Reihe von x(t) ???

sn= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~bk\sin((2k+1)t) \end{eqnarray*}$

??????

f) Setzen Sie in der Fourier-Reihe e) t = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/2 und vereinfachen Sie sin (k $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/2) :
Dann können Sie eine berühmte Reihendarstellung für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/4 ablesen. Wie heisst sie?

Hoffe mir kann jemand helfen und meine denkansätze korriegieren/bestätigen und mir so weiterhelfen den rest zu lösen.
Danke!!!!

05.12.2005, 13:14

sqrt(2)

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RE: Fourier-Koeffizienten

Zitat:

Original von nz
bk= $\begin{eqnarray*} \frac{4}{k}\pi \end{eqnarray*}$

Richtig ist $\begin{eqnarray*} b_k=\begin{cases}\frac{4}{k\pi} & k\text{ ungerade} \\ 0 & k\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nz
c) Was sagen Sie zur Geschwindigkeit, mit der die Fourierkoezienten abklingen?

Was soll mit "Geschwindigkeit" gemeint sein? Die Ableitung nach k?

Zitat:

Original von nz
d) Es bezeichne sn(t) die n -te Partialsumme
sn(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{a0}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \end{eqnarray*}$ ak cos(k t) + bk sin(k t):

Stellen sie x(t) und s6(t) für t 2 (0 ; $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) in einem einzigen Bild.

????????
da man die geraden und dei ungeraden anschauen muss, fallen die geraden weg und die ungeraden berechnet man mit 2k+1. Stimmt das?

Fast. Da k mit 1 beginnt und 1 schon eine ungerade Zahl ist, 2*1+1 aber 3 ist, musst du 2k-1 nehmen. Was soll das aber mit dem Schaubild zu tun haben? Du sollst doch nur x(t) und s6(t) plotten.

Zitat:

Original von nz
e) Wie lautet die Fourier-Reihe von x(t) ???

sn= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~bk\sin((2k+1)t) \end{eqnarray*}$

n muss unendlich sein, dann ist die Reihe nämlich einfach gleich x(t). und dann ist da halt die Sache mit 2k-1 statt 2k+1.

Zitat:

Original von nz
f) Setzen Sie in der Fourier-Reihe e) t = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/2 und vereinfachen Sie sin (k $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/2) :
Dann können Sie eine berühmte Reihendarstellung für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )/4 ablesen. Wie heisst sie?

Überlege aber zunächst, was $\begin{eqnarray*} x\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ist, dann setze doch einfach mal ein und vereinfache. Das soll dabei herauskommen.

06.12.2005, 18:40

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Danke für deine Hilfe! Bin dank deinen Ansätzen auf die richtige Lösung gekommen!!!

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