Extremwertaufgabe Formel aufstellen?

29.04.2008, 20:51

pillki

Extremwertaufgabe Formel aufstellen?

hallo,

hab hier folgende Aufgabe:

(Mathematische Beschreibung eines Optimierungsproblems)
Eine quaderförmige Kiste (Länge x, Breite y, Höhe z), die oben offen ist, soll einen Inhalt von 32
Liter haben. Bestimmen Sie x, y und z so, dass der Materialverbrauch für die Kiste minimal
ist.

ich sitze derzeit vor der aufgabe und bewundere das problem, habe aber nicht wirklich einen ansatz was ich da jetzt machen soll.

wie stell ich mir den dafür jetzt die (richtige) formel auf. den eigentlichen extremwert berechnen krieg ich denk ich hin, wenn ich erstmal die formel habe.

29.04.2008, 21:34

system-agent

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Zunächst hast du einmal das Volumen:
$\begin{eqnarray*} V=x\cdot y\cdot z \end{eqnarray*}$

Du weisst dass dieses Volumen 32 sein soll, also
$\begin{eqnarray*} 32=x\cdot y\cdot z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y,z>0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nun du hast einen Quader als Kiste. Ich würde nun sagen dass der Materialverbrauch klein ist, wenn die Oberfläche klein ist...

01.05.2008, 12:50

pillki

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die oberfläche?

hm....das heist ich muss die formel der oberfläche eines quaders benutzen und diese zum ableiten verwenden, oder wie funktioniert das?

01.05.2008, 17:10

Leopold

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Für die Oberfläche $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} O = xy + 2xz + 2yz \end{eqnarray*}$

Da die Kiste oben offen ist, fehlt bei $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ der Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Die Variablen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern durch

$\begin{eqnarray*} V = xyz \end{eqnarray*}$

aneinander gekoppelt (Nebenbedingung). Denn das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ja konstant. Löst man die Nebenbedingung nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf und ersetzt man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ , so bekommt man

$\begin{eqnarray*} O = \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y} + xy \, ; \ \ x,y > 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \to 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} O \to \infty \end{eqnarray*}$ . Es muß daher eine Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ geben, an der $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ minimal wird. An dieser Stelle verschwinden die partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} O_x = \frac{\partial O}{\partial x} \, , \ \ O_y = \frac{\partial O}{\partial y} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} O_x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_y = 0 \end{eqnarray*}$ kannst du die gesuchte Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ermitteln. Für die Rechnung ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Parameter. Wenn dir nicht an einem allgemeinen Ergebnis gelegen ist, kannst du natürlich gleich mit $\begin{eqnarray*} V=32 \end{eqnarray*}$ rechnen (mit $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ als Größen in dm).

03.05.2008, 14:35

pillki

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ah, ok.
jetzt muss ich also wie gehabt, mir die ganzen Ableitungen berechnen , (1. Ordnung und 2. Ordnung), die erste ableitung nullsetzen und nach y-auflösen um an meine kandidaten für die extrempunkte zu kommen?

03.05.2008, 16:50

pillki

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Hab mich mal versucht:

habe die Funtkion abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} O = \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y} + xy \, ; \ \ x,y > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_x = -\frac{2V}{x^2} +y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_y = -\frac{2V}{y^2} + x \end{eqnarray*}$

ich hab das O_x nach y aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2V}{x²} \end{eqnarray*}$

das hab ich dann in die O_y eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{2V}{(\frac{2V}{x²})²} + x \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich das ja irgendwie nach x auflösen und die nullstellen für x bestimmen, hab dann erstmal umfgeformt

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{2Vx^4}{4V²} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{x^4}{2V} + x \end{eqnarray*}$

so, wie krieg ich da den jetzt die nullstellen raus.....

03.05.2008, 16:54

mYthos

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Falls die Gleichung stimmt -> x (hier sinnvollerweise nicht Null) ausklammern, den Rest Null setzen, d.h. es läuft auf die dritte Wurzel hinaus ...

mY+

04.05.2008, 10:50

pilki

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hab mich mal versucht mit dem Null setzen

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{2Vx^4}{4V²} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{x^4}{2V} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(-\frac{x^3}{2V}+1)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{x^3}{2V} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2V = x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2V}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = x_4 = \sqrt[3]{2V} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich das ja in y einsetzen um an die y-koordinate zu kommen, aber mein Y sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2V}{x^2} \end{eqnarray*}$

für x = 0 gibt das einen nicht rechenbaren ausdruck mit nulldivison......was hab ich falsch gemacht?

04.05.2008, 10:58

system-agent

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Soweit ich das nachgerechnet habe ist alles OK soweit.

Die Lösung $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ kannst du sowieso wegschmeissen, denn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn (denn für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ folgt automatisch auch $\begin{eqnarray*} V=0 \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist.)

Mache also nur mit $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt[3]{2V} \end{eqnarray*}$ weiter !

04.05.2008, 11:27

pilki

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ok, dann hab ich jetzt einen möglichen punkt

V = 32;

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2V} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2V}{(2V)^{\frac{2}{3}}} = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1=(4,16) \end{eqnarray*}$

jetzt muss delta berechnen

die Ableitungen nochmal:
$\begin{eqnarray*} O = \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y} + xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_x = -\frac{2V}{x^2} + y \end{eqnarray*}$

[latey]O_y = -\frac{2V}{y^2} + x[/latex]

$\begin{eqnarray*} O_xx = \frac{2V}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_yy = \frac{2V}{y^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_xy = O_yx = 1 \end{eqnarray*}$

[latex]\Delta = \frac{2V}{x^3} * \frac{2V}{y^3} - 1 *1 = \frac{4V^2}{x^3y^3} = \frac{4*32^2}{4^3*16^3} -1= -0.984

wenn Delta negativ ist, hab ich doch einen Sattelpunkt und kein Extrema......was mach ich falsch?

04.05.2008, 11:28

pilki

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Zitat:

Original von pilki
ok, dann hab ich jetzt einen möglichen punkt

V = 32;

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2V} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2V}{(2V)^{\frac{2}{3}}} = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1=(4,16) \end{eqnarray*}$

jetzt muss delta berechnen

die Ableitungen nochmal:
$\begin{eqnarray*} O = \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y} + xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_x = -\frac{2V}{x^2} + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_y = -\frac{2V}{y^2} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_xx = \frac{2V}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_yy = \frac{2V}{y^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_xy = O_yx = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta = \frac{2V}{x^3} * \frac{2V}{y^3} - 1 *1 = \frac{4V^2}{x^3y^3} = \frac{4*32^2}{4^3*16^3} -1= -0.984 \end{eqnarray*}$

wenn Delta negativ ist, hab ich doch einen Sattelpunkt und kein Extrema......was mach ich falsch?

04.05.2008, 12:51

Gump

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RE: Extremwertaufgabe Formel aufstellen?
Hallo Pilki!

Du hast dich bei deinem y ein wenig verrechnet.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2V}{(2V)^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{2V}=x=4 \end{eqnarray*}$

Weiterhin musst du prüfen, ob die Hesse-Matrix dort positiv definit ist. Die Berechnung deines Deltas reicht nicht aus.

Gruß

Gump

04.05.2008, 16:02

pilki

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ah ok, danke, denke ich habs jetzt raus.

btw.
hätte man diese aufgabe auch über diese Lagrange Methode lösen können?

04.05.2008, 23:25

Gump

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Ja, du hättest die Aufgabe auch mit der Lagrange-Methode lösen kann.
Allerdings wäre das viel umständlicher gewesen.

Gruß

Gump

05.05.2008, 00:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gump
Ja, du hättest die Aufgabe auch mit der Lagrange-Methode lösen kann.
Allerdings wäre das viel umständlicher gewesen.

Findest du? Aus

$\begin{eqnarray*} 0 = DO + \lambda DV = (y+2z,x+2z,2(x+y)) + \lambda (yz,xz,xy) \end{eqnarray*}$

bekommt man nebst Nebenbedingung die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} y + 2z + \lambda yz &=& 0\\x + 2z + \lambda xz &=& 0\\2(x+y) + \lambda xy &=& 0\\xyz &=& 32. \end{eqnarray*}$

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt

$\begin{eqnarray*} (y-x)(1+\lambda z) = 0, \end{eqnarray*}$

also x = y oder $\begin{eqnarray*} \lambda z = -1. \end{eqnarray*}$ Setzt man letzteres in die erste Gleichung ein, dann folgt z = 0, was einen Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \lambda z = -1 \end{eqnarray*}$ darstellt. Also muss x = y gelten. Wir schreiben die Gleichungen der Übersicht halber neu:

$\begin{eqnarray*} x + 2z + \lambda xz &=& 0\\4x + \lambda x^2 &=& 0\\x^2z &=& 32. \end{eqnarray*}$

x = 0 kann wegen der dritten Gleichung nicht gelten. Also folgt aus der zweiten Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda x = -4. \end{eqnarray*}$ Dies eingesetzt in die erste Gleichung ergibt x = 2z. Dies benutzen wir in der dritten Gleichung, um z = 2 zu folgern. Damit ergeben sich noch $\begin{eqnarray*} x = y = 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = -1. \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Maximum und Minimum gibt es genau ein Minimum, und zwar ist dies (4,4,2).

EDIT: OK, ich hab jetzt mal die andere Methode gerechnet, und das ist wirklich um einiges kürzer.

05.05.2008, 17:44

Leopold

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RE: Extremwertaufgabe Formel aufstellen?

Zitat:

Original von Gump
Weiterhin musst du prüfen, ob die Hesse-Matrix dort positiv definit ist.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto O \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ der offenen Menge $\begin{eqnarray*} Q = (0,\infty) \times (0,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert. Weil $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ unendlich groß wird, wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gegen den Rand von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ strebt (siehe meinen ersten Beitrag), muß ein absolutes Minimum an einer Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \in Q \end{eqnarray*}$ existieren. Dort muß der Gradient verschwinden. Da dafür nach Rechnung nur $\begin{eqnarray*} x_0 = y_0 = \sqrt[3]{2V} \end{eqnarray*}$ in Frage kommt, muß dort das Minimum liegen.
Eine Untersuchung der Hesse-Matrix erübrigt sich meiner Ansicht nach hier.

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