Verallgemeinerte Hölderungleichung (hier nur in Cauchy-Schwartz-Form)

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WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerte Hölderungleichung (hier nur in Cauchy-Schwartz-Form)
Hi Folks!

Kennt jemand die folgende Aussage?

Es seien ein Maßraum, ein komplexes Maß und positive Maße auf Es gelte für alle



Dann gilt für alle (Borel-)messbaren Funktionen



Das muss stimmen. Man kann es sich z.B. lax mit Riemann-Summen und mit der Hölderschen Ungleichung für Summen klarmachen:



Ich habe versucht, diese Ungleichung aus der "normalen" Hölder- bzw. CS-Ungleichung herzuleiten, aber ich komme da auf keinen grünen Zweig. Kennt jemand diese Aussage oder weiß, wie man sie beweist?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht so: und sind auf jeden Fall absolutstetig bzgl. . Also existieren Radon-Nikodym-Dichten und mit

,

damit kann man die rechte Seite umschreiben gemäß

.

Hab's jetzt nicht weiter verfolgt, sieht aber erfolgversprechend aus.


EDIT (Ergänzung): Radon-Nikodym erfordert natürlich Sigma-Endlichkeit von , und damit gemäß Konstruktion auch von und . Weiß nicht, ob das eine zu harte Einschränkung für dich ist - vermutlich eher nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank! Aber leider komm ich da auch nicht weiter. Wenn ich auf die rechte Seite jetzt Hölder anwende, erhalte ich für die rechte Seite:



wobei definiert ist durch



Jetzt bräuchte man sowas wie aber ich bekomme nur mit Hölder



Hab irgendwie das Gefühl, dass das sofortige Anwenden von Hölder zu stark war...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass die Abschätzung hier schon zu grob war. Was noch fehlt, ist der Nachweis, dass auch , und zwar mit einer Dichte , die die Eigenschaft

f.ü.

hat. Ich zweifle eigentlich nicht, dass man das irgendwie aus



folgern kann (unter Verwendung von "kleinen" Mengen ?) - das Problem ist das "saubere" Aufschreiben.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, tja, das Ding ist ne harte Nuss. ZUmindest für mich. Augenzwinkern Ich kriegs einfach nicht gebacken. OK, klar dass bezüglich absolutstetig ist. Aber die Ungleichung für die Dichten bekomme ich nicht hin. So langsam zweifel ich sogar an der Behauptung, denn ich bekomme es nicht mal hin, sie zu beweisen für solch einfache Funktionen wie



Da müsste man die Ungleichung



zeigen. Vielleicht fehlt mir einfach eine Abschätzung, aber ich kriegs nicht hin...

Hab auch schon gemutmaßt, dass die Bedingung zu schwach sein könnte. Vielleicht braucht man sogar

für alle E.

Dann hätte man zumindest unsauber




EDIT: Ich habe gerade rausgefunden, dass die vermeintlich stärkere Bedingung bereits aus der vermeintlich schwächeren folgt. Also insofern gibt es einen "unsauberen" Beweis.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Problem etwas eingrenzen können. Deine (Arthur) Behauptung bezüglich der Dichten gilt dann, wenn die folgende Aussage gilt:

Es seien ein -endlicher Maßraum und messbare Funktionen mit Weiter gelte für alle



Dann folgt daraus lambda-fast überall.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt hinbekommen für den Fall, dass sogar gilt. Vielleicht bekomme ich es noch hin, den allgemeinen Fall auf diesen zurückzuführen.

Sei beliebig und



Wir dürfen wegen der -Endlichkeit des Maßraums annehmen, dass gilt. Daher dürfen wir auch gleich annehmen, dass der gesamte Maßraum endlich ist. Da f beschränkt ist, gibt es eine Folge von elementaren (oder auch einfachen) Funktionen , welche gleichmäßig von unten gegen f konvergiert. Aus der Endlichkeit des Maßraums und der gleichmäßigen Konvergenz der Folge gegen f folgt, dass



gleichmäßig (bzgl. ) gegen



konvergiert. Daher gilt für fast alle und alle



Es sei nun ein Folgenglied mit hinreichend großem Index. Falls gibt es dann eine messbare Menge , auf der konstant ist und für die gilt. Wegen und der Monotonie von auf sowie der linearen Abhängigkeit von und auf E folgt schließlich



Und das ist offensichtlich ein Widerspruch.


Nachtrag: Man kann sich genauso von oben mit einfachen Funktionen an f gleichmäßig annähern. Damit ist dann die Behauptung bewiesen. smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es jemanden interessieren sollte: Ich hab das ganze mal etwas genauer aufgeschrieben. Ich häng die Datei hier an. Man findet die betreffenden Aussagen in den Lemmata 3 & 4.

Nochmals ganz herzlichen Dank an Arthur, der mich auf die richtige Fährte gebrachte hat. smile
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