Problem mit Beweis einer Teilmenge |
| 17.04.2004, 18:00 | Joda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Problem mit Beweis einer Teilmenge ich muß zeigen, dass die Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen bezgl. dessen Addition und Multiplikation einen nullteilerfreien Ring mit Eins bildet. Ebenso muß ich die Einheit von bestimmen und sagen, ob zerlegbar ist oder nicht. Ich verstehe das ganze überhaupt nicht. Ich kenne zwar Körperkriterien, aber das hilft mir irgendwie gar nicht.... 
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| 17.04.2004, 18:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge
.. ich denke, wenn du das überhaupt nicht verstehst, dann wirst du es nach einer Abhandlung auch nicht verstehen .... musst dich schon etwas mehr reinknien 
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| 17.04.2004, 19:28 | Joda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge Hallo Poff, ich will nicht, dass irgendjemand meine Arbeit hier für mich macht! Ich sitze hier und verzeifel etwas. Ich habe mir einige Gedanken gemacht und würde nun ganz gerne einen Lösungsansatz haben, anhand dessen ich mich orientieren kann und evtl noch Rückfragen stelle. Natürlich "quäle" ich mich durch meine Lehrbücher und habe bereits Lösungsansätze. Aber ich wollte jetzt keine pädagogischen Anreitze zum arbeiten haben. Wenn ich nach Hilfe Frage und nach einem Lösungsweg dann nicht nach Motivation!!! X( |
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| 17.04.2004, 20:39 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge
Nun dann musst du eben zeigen, dass Z[i] ein Ring ist und dass es keinen Nullteiler gibt
- einfach, oder?Zuerst die Sache mit dem Ring: Z[ i , + ] muss kommutative Gruppe sein, Z[ i , * ] muss Halbgruppe sein und das Distributivgesetz muss gelten. Alles im Einzelnen aufgelistet heißt dass: z.z. für beliebige x,y,z aus Z[i] gilt: 1) x+y = y+x 2) x+(y+z) = (x+y)+z 3) Es gibt ein Einselement e so dass: e+x = x (naja das ist halt hier 0+0i - odda
)4) Für jedes x aus Z[i] gibt es ein Inverses v aus Z[i] , so dass x + v = 0 (das ist hier wohl v= - x =-a-bi) 5) x*(y*z) = (x*y) * z 6) x*(y+z) = (x*y) + (x*z) 7) (x+y)*z = (x*z) + (y*z) Damit hätten wir mal die Sache mit dem Ring. Nun zur Nullteilerfreiheit. Wenn n Nullteiler für ein x aus Z[i], dann gilt nx=e oder xn=e - OBWOHL n nicht die NULL (e ist neutrales Element). d.h. aber (n1 + n2 i) (x1 + x2 I) = 0 naja, dass geht aber nur, falls n1=n2=0 und damit ist Z[i] nullteilerfrei.
Das glaube ich muss du anders formulieren. DIE EINHEIT von Z[i] gibt es nicht, denn wenn du einen Ring mit Eins hast, dann heißen alle Elemente aus diesem Ring EINHEIT, wenn sie sowohl ein Rechts- als auch ein Linksinverses besitzen. Und meines Wissens
sind alle Elemente aus Z[i] außer der 0 Einheiten.Was aber meinst du mit "zerlegbar"? Zerfällungskörper mit Minimalpolynom ...? Wohl kaum, oder? Happy Mathing |
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| 18.04.2004, 14:06 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge
Richtig ist die Definition einer Einheit: Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Linksinverses und ein Rechtsinverses hat. Falsch ist dagegen, dass alle außer 0 Einheiten sind. In dem Fall hätten wir es ja sogar mit einem Körper zu tun. Die 2 ist aber z.B. keine Einheit, denn 1/2 liegt nicht in Z[ i ]. Es gibt zum Bestimmen der Einheiten ein nettes Kriterium: Die Norm. Die Norm des Elementes a + bi ist definiert als a^2 + b^2. Wie du dir ausrechnen solltest, ist die Norm stets eine nichtnegative ganze Zahl, und die Norm eines Produkts ist das Produkt der Normen. Wende das nun auf potentielle Einheiten an, und du erhältst eine Bedingung für die Norm von Einheiten. Die sich daraus ergebende Gleichung löst du und hast alle Kandidaten für Einheiten. Von denen musst du noch die Inversen angeben und bist damit fertig. Mit zerlegbar ist wohl "reduzibel" gemeint. Die Frage ist also, ob 1+i irreduzibel ist oder nicht. Mit der Norm kannst du die möglichen Normen von Teilern von 1+i ermitteln, und schauen, ob es Elemente dieser Norm gibt. Soweit ich mich erinnere, bist du damit dann schon fertig. Viel Erfolg, SirJective PS: Offenbar gibt es eine Unannehmlichkeit beim Rendern des Beitrags: Das Z [ i ] schmeisst einiges durcheinander wenn man es ohne Leerzeichen schreibt. Ich will aber auf kursiven Text und Quotes nicht verzichten. |
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| 18.04.2004, 15:02 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge @ Sir Jektiv Oh - ups - jo Sir Jektiv - da steht ja Z[i], die Geschichte mit der Nichtteilbarkeit aller Elemente aus Z hab ich übersehen 
- naja meine Algebra-Vorlesung liegt auch schon eine Weile zurück und intensiv damit befasst hab ich mich in letzter Zeit nimmer. Aber da passt ja hier immer einer auf, falls man ins "mathematische Nimmerland rutscht"
Happy Mathing |
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| 18.04.2004, 15:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Z[i] ist nullteilerfreier Ring Da Z[i] Untermenge von C ist, kann es keine Nullteiler geben (denn C ist ein Körper!). Die Ringaxiome gelten, da sie ja in C gelten. Das einzige, was noch nachzuweisen ist, daß für z,w aus Z[i] auch -z, z+w und z·w aus Z[i] sind (Abgeschlossenheit). Wie man die Einheiten des Rings findet, wurde schon in vorigen Beiträgen erklärt. |
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| 20.04.2004, 14:39 | Joda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit der Einheit habe ich noch nicht ganz verstanden. Was muß ich machen, um die Enheiten zu finden? Und was ist mit diesem "reduzibel"? Ich soll sagen, ob 1 + i zerlegbar oder unzerlegbar ist. |
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| 20.04.2004, 18:06 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit Beweis einer Teilmenge Für die Einheiten verwende die Norm, die ich oben definiert habe. Die Norm des Elementes a + bi ist definiert als a^2 + b^2. Nun musst du zwei Sachen beweisen. Erstens: Die Norm ist immer eine ganze Zahl, die nicht negativ ist - das sollte leicht sein. Zweitens: Die Norm des Produkts von zwei Zahlen ist das Produkt der Normen der beiden Zahlen - das muss man halt allgemein nachrechnen. Wenn du das hast, dann schaust du dir an, was man über die Norm einer Einheit aussagen kann: Zu jeder Einheit gibt es ein Element, so dass ihr Produkt 1 ist. Mit dem zweiten Punkt kannst du nun sagen: Die Norm einer Einheit mal die Norm des anderen Faktors ergibt die Norm der 1. Was ist die Norm der 1, und was bedeutet das für die Norm der Einheit? Nun erstmal zu dem "zerlegbar": Ich bin immer noch der Meinung, dass damit "reduzibel" gemeint ist. Das ist ein Begriff aus der Ringtheorie, den du eigentlich schonmal gehört haben solltest, wenn du solche Aufgaben lösen sollst. Wenn du in deinem Vorlesungsskript nachschlägst, findest du vielleicht eine Definition wie "Ein vom Nullelement verschiedenes Element x, das keine Einheit ist, heißt reduzibel (oder zerlegbar), wenn es zwei Elemente a und b gibt, die beide keine Einheiten und von Null verschieden sind, so dass a*b = x ist. Gibt es keine solchen Elemente, dann heißt x irreduzibel (oder unzerlegbar)." Um nun zu prüfen, ob 1+i zerlegbar ist, musst du entweder solche Elemente finden, oder beweisen, dass es keine gibt. Und dazu berechnest du die Norm von 1+i und zerlegst die erstmal auf alle möglichen Weisen in zwei Faktoren - das liefert die Informationen über die Teiler von 1+i, da die Norm des Produkts gleich dem Produkt der Normen ist. |
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| 20.04.2004, 18:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Worauf man selber kommt, das vergißt man nicht so schnell wieder. Deshalb empfehle ich dir, nach SirJectives Vorschlägen vorzugehen. Lies daher bitte erst einmal nicht weiter, denn jetzt folgt die Lösung der Aufgabe: Einheiten in einem kommutativen Ring R (mit Einselement) sind alle Elemente a aus R, für die es ein b aus R gibt a·b = 1. Einheiten im Ring Z der ganzen Zahlen: a·b = 1 geht in Z nur, wenn a=b=1 oder a=b=-1 ist. Also sind 1 und -1 die Einheiten von Z. Einheiten im Ring Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen: Ich schreibe wobei die a's und b's gewöhnliche ganze Zahlen sind. Zu untersuchen ist also die Gleichung Dann muß auch gelten: wobei die Striche wie üblich für den Betrag einer komplexen Zahl stehen (das führt auf die Norm in den Beiträgen zuvor). Indem man die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation ausnutzt und die dann entstehende Gleichung nichtnegativer reeller Zahlen quadriert, erhält man Die beiden Klammern stellen nichtnegative ganze Zahlen dar. Ein solches Produkt kann nur bestehen, wenn beide Faktoren 1 sind. Insbesondere folgt Links steht eine Summe nichtnegativer ganzer Zahlen. Ihr Wert soll 1 sein. Da gibt es nur die folgenden Möglichkeiten: Setzt man das oben ein, findet man die vier Einheiten von Z[i]: (Man muß noch überprüfen, daß dies tatsächlich Einheiten sind, was aber durch die Gleichungen 1·1 = (-1)·(-1) = i·(-i) = 1 sofort bestätigt wird.) Jetzt zur Zerlegbarkeit. Die unzerlegbaren Zahlen in Z sind die Primzahlen p. Das sind diejenigen ganzen Zahlen p ungleich einer Einheit, so daß die Gleichung a·b = p in Z nicht erfüllbar ist, außer wenn a oder b eine Einheit, also 1 oder -1, ist (und der jeweils andere Faktor dann natürlich p oder -p). Genau so machen wir es jetzt in Z[i]. Nehmen wir einmal an, daß 1+i zerlegbar (=reduzibel) wäre, so müßte eine Gleichung bestehen, wo keiner der Faktoren eine Einheit 1,-1,i,-i ist. Wir gehen wie oben zu den Quadraten der Beträge über und erhalten: Links steht jetzt (siehe oben) ein Produkt aus nichtnegativen ganzen Zahlen, dessen Wert 2 sein soll. Da 2 eine Primzahl ist, bleibt nur die Möglichkeit, daß ein Faktor 1 und der andere 2 ist. Nehmen wir etwa an, daß der erste Faktor 1 ist, so folgt wie oben bei der Bestimmung der Einheiten von Z[i]: Also ist ein Faktor der Anfangsgleichung doch eine Einheit. Dieser Widerspruch zeigt, daß 1+i unzerlegbar (=irreduzibel) ist. |
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| 20.04.2004, 18:39 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wozu mach ich mir hier die Mühe, ihm das Vorgehen zu erklären, wenn du es ihm ne halbe Stunde später vorrechnest, so dass Joda es nur noch stumpf abschreiben braucht? Nennst du das Hilfe? Fänd ich schade... Gruss, SirJective |
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| 20.04.2004, 18:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast recht. Vielleicht ist's Eitelkeit. Sorry! Künftig will ich mich zurückhalten. |
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| 20.04.2004, 18:47 | Joda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ihr zwei, Hilfe besteht aus zwei Teilen: Das eine ist das erklären des Weges. Das andere ist dann eine konkrete Lösung, die einem eine Kontrolle gibt. Ich habe mir den Teil von Leopold noch nicht durchgelesen, damit ich es selber schaffe und werde sicherlich nocheinmal nachfragen bei der einen oder anderen Stelle. Es ist aber schön zu wissen, dass man im Notfall eine Kontrolle hat!!!!!! |
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| 20.04.2004, 19:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mag bei dir stimmen, aber nicht bei allen Usern. Und da wir das Board nicht als simples Aufgaben-abgeben-Lösung-erhalten-Board auffassen, wäre es natürlic schön, wenn Leopold sich i.A. auch daran orentieren würde. Wobei die Grenzen manchmal zugegebenermaßen verschwimmen. Gruß vom Ben |
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