natürliche Zahlen

05.12.2005, 16:58

SimoneMexes84

natürliche Zahlen

Hallo,

ich studiere Mathe im 1. Semester und wir haben heute eine Übungsaufgabe bekommen nur weiss ich leider nicht wie ich am besten an die Aufgabe dran gehe. Vielleicht kann ja jemand von euch mir helfen. Bin dankbar für jeden noch so kleine Tipp. Gruss simone

Aufgabe:

Welche der natürlichen Zahlen

a)kleiner als 1000
b) kleiner als 10 000

hat die meisten Teiler ??

p.s. Dabei sollen etwa nicht alle Zahlen von 1-999 ausprobiert werden.

05.12.2005, 17:16

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Wie berechnet man denn die Anzahl der Teiler aus der Primfaktorzerlegung? Das hast du vermutlich schon kennengelernt. Und darauf musst du aufbauen.

09.12.2005, 14:48

SimoneMexes84

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So richtig weiss ich nicht wie ich an die Sache ran gehen soll kann mir jemand helfen ??

gruss simone

09.12.2005, 18:07

Leopold

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Ich greife Arthurs Hinweis auf.

Jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ kann in eindeutiger Weise als

$\begin{eqnarray*} n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r} \end{eqnarray*}$

mit paarweise verschiedenen Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,\ldots,p_r \end{eqnarray*}$ und positiven ganzzahligen Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_r \end{eqnarray*}$ geschrieben werden. Jeder Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann nur aus diesen Primzahlen bestehen, wobei keine häufiger vorkommen kann als der zugehörige Exponent angibt.

Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} n = 126 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$

Die Teiler der Zahl sind

$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$

Warum sind es gerade so viele? Und wie viele sind es im allgemeinen Fall?

16.12.2005, 20:38

Susi11

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Hallo,

also ich habe die Zahl gefunden, mir fehlt aber die Idee, wie ich zeige, dass es keine Zahl gibt, die noch mehr Teiler hat...

Kann mir da jemand helfen?

Danke!

16.12.2005, 20:51

JochenX

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Zitat:

Original von Susi11
also ich habe die Zahl gefunden, mir fehlt aber die Idee, wie ich zeige, dass es keine Zahl gibt, die noch mehr Teiler hat...

dann stellt sich mir die frage, wie du sie gefunden hast!?

16.12.2005, 22:25

maxx03

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Wie kommt man denn von einer Zahl auf die Primfaktorzerlegung, allgemein ?? Also zb. für 9822 ? Wenn man die hat ist ja die Anzahl der Teiler nicht schwer zu bestimmen, aber mir fällt im Moment keine Formel ein verwirrt

17.12.2005, 10:03

Susi11

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Wie es aussieht, hast du meine Frage nicht verstanden...(LEOD)
Die Zahl lautet 840=2^3*3*5*7 und hat somit 32 Teiler, aber nun muß ich doch zeigen, dass es die Zahl mit den meisten Teiler ist.
Also, dass es keine Zahl gibt mit der Teileranzahl >32.

Kann mir da jemand helfen?

17.12.2005, 11:08

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Ich gehe mal von Leopolds Bezeichnungen aus:

Zitat:

Original von Leopold
Jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ kann in eindeutiger Weise als

$\begin{eqnarray*} n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r} \end{eqnarray*}$

mit paarweise verschiedenen Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,\ldots,p_r \end{eqnarray*}$ und positiven ganzzahligen Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_r \end{eqnarray*}$ geschrieben werden.

(1) Dass die Anzahl der Teiler $\begin{eqnarray*} d(n)=(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_r+1) \end{eqnarray*}$ ist, scheinst du ja zu wissen.

(2) O.B.d.A. ordnen wir mal die Exponenten in fallender Reihenfolge, also $\begin{eqnarray*} \alpha_1\geq \alpha_2\geq \cdots \geq \alpha_r \end{eqnarray*}$ . Wenn man jetzt nach einer Zahl $\begin{eqnarray*} n\leq n_{\max} \end{eqnarray*}$ (hier $\begin{eqnarray*} n_{\max}=1000 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n_{\max}=10000 \end{eqnarray*}$ ) mit den meisten Teilern sucht, dann ist unter allen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit fest vorgegebenen Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\ldots,\alpha_r \end{eqnarray*}$ diejenige Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_1=2, p_2=4, p_3=5,\ldots \end{eqnarray*}$ (also den ersten aufsteigend geordneten Primzahlen) am kleinsten. Wenn man nach Zahlen mit den meisten Teilern sucht, reicht es dann offenbar, sich auf Zahlen mit dieser Struktur zu konzentrieren.

(3) Wegen $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11= 2310 > 1000 \end{eqnarray*}$ kannst du dich im Fall $\begin{eqnarray*} n_{\max}=1000 \end{eqnarray*}$ auf den Fall

$\begin{eqnarray*} r\leq 4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7 \end{eqnarray*}$

beschränken, natürlich unter Beachtung all der Hinweise aus (2). Bei $\begin{eqnarray*} n_{\max}=10000 \end{eqnarray*}$ ist das entsprechend

$\begin{eqnarray*} r\leq 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11 \end{eqnarray*}$ .

Anschließend hilft wirklich nur noch ein wenig probieren mit möglichen Exponententupeln $\begin{eqnarray*} (\alpha_1,\ldots,\alpha_r) \end{eqnarray*}$ , welche die Bedingung $\begin{eqnarray*} n\leq n_{\max} \end{eqnarray*}$ erfüllen.

18.12.2005, 18:05

susi11

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@Arthur Dent:

Warum schreibst du p=4??? 4 ist doch keine Primzahl...

18.12.2005, 20:01

irre.flexiv

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Das ist nur ein Tippfehler.

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