Konvergenz komplexer Folgen

05.12.2005, 18:10	Master1709	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz komplexer Folgen Hallo ihr! Sitze hier vor einer, glaube ich, schwierigen Aufgabe ... Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. Sei q $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , 0 < q < 1, und $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ eine komplexe Folge mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \|a_{n + 2} - a_{n + 1}\| < q \|a_{n + 1} - a_{n}\| \end{eqnarray}$ für alle n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie mithilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ konvergiert. Folgt die Konvergenz auch, wenn q = 1 gilt? Nun besagt Cauchy, dass es zu jedem € > 0 ein N = N(€) € IN u {0], sodass \| $\begin{eqnarray} (a_{n})-(a_{m}) \end{eqnarray}$ \| < € für alle m,n >= N. Da ich wirklich gewillt bin, die Aufgabe zu lösen, wäre ich über jeden Denkanstoß sehr dankbar. Gruß, Master
05.12.2005, 19:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Versuche zunächst, durch vollständige Induktion zu beweisen, dass $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}-a_n\|<q^{n-1}\|a_2-a_1\| \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N, n\geq 2 \end{eqnarray}$ . Und dann beachte, dass für $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ stets gilt: $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|=\|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})+\ldots+(a_{n+1}-a_n)\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\ldots+\|a_{n+1}-a_n\| \end{eqnarray}$ oder in Summenschreibweise: $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|=\left\|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right\|\leq \sum_{k=n}^{m-1}~\|a_{k+1}-a_k\| \end{eqnarray}$ . Wende dann die obige Ungleichung und danach die geometrische Summenformel an. Gruß MSS
05.12.2005, 20:20	Master1709	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich bin wirklich beeindruckt von deinem Auffasungsvermögen, muss aber eingestehen, dass ich nicht wirklich verstehe, worauf du hinauswillst mit deiner Idee. Könntest du mir das evtl. noch mal in ein, zwei Sätzen erklären (nicht-mathematisch)?? Gruß, Master und Danke im Voraus
05.12.2005, 20:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich will zeigen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist. Wie soll ich so etwas "nicht-mathematisch" erklären? Wie gesagt, kannst du ja erstmal diese Ungleichung da anwenden: $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|\leq \sum_{k=n}^{m-1}~\|a_{k+1}-a_k\|<\sum_{k=n}^{m-1}~q^{k-1}\|a_2-a_1\| \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du die Konstante $\begin{eqnarray} \|a_2-a_1\| \end{eqnarray}$ rausziehen, dann die geometrische Summenformel anwenden und dann erhältst du einen Term, der für $\begin{eqnarray} m,n\to\infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ geht, was dann zeigt, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. Gruß MSS

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