Aufgabestellung richtig?

05.12.2005, 17:14

Sunwater

Aufgabestellung richtig?

Hi...

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Es seien $\begin{eqnarray*} {x_n},{y_n} \end{eqnarray*}$ zwei komplexe Nullfolgen, so daß für alle n gilt:

$\begin{eqnarray*} |y_0|+|y_1|+ ... + |y_n| \leq K \end{eqnarray*}$

mit einer festen Schranke K. Zeigen sie, dass dann auch die Folge $\begin{eqnarray*} {z_n} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} z_n=x_0y_n + x_1y_{n-1} + ... + x_ny_0 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist...

ich kann mir das nicht vorstellen... - ich meine, die Konvergenz beweisen wäre möglich, aber das ist doch ne Summe?! - wie soll die gegen Null konvergieren? - ich meine, ich brauch doch nur mal für $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} , y_n= \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ zu setzen und schon habe ich für $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge mehr, oder?

05.12.2005, 19:06

Mathespezialschüler

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Die Aufgabenstellung ist richtig, das stimmt schon so. Der Beweis verläuft ungefähr nach der gleichen Struktur wie dieser auch.

Gruß MSS

05.12.2005, 19:29

Sunwater

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aber wegen meinem Beispiel: - daraus folgt doch, dass alle Summanden positiv sind - wie kann denn dann die Summe gleich 0 sein? - es sind doch nicht alle Summanden gleich 0 oder?

05.12.2005, 19:31

Mathespezialschüler

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Naja, aber die Summanden gehen doch alle gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Da ist es egal, dass sie immer alle positiv sind, die Summe kann trotzdem gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen, weil die Summanden sich ja verändern, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer wird.

Gruß MSS

08.12.2005, 20:26

Sunwater

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ich krieg die Analogie zu dem Beweis auf den du mich verwiesen hast nicht raus... - wie soll ich das jetzt auf mein Problem ummünzen?

08.12.2005, 20:59

Mathespezialschüler

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Dann mach ich mal nen Anfang. Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig und

$\begin{eqnarray*} Y:=\sum_{k=0}^{\infty}~|y_k| \end{eqnarray*}$

sowie o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} Y>0 \end{eqnarray*}$ . Zunächst kannst du ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass für $\begin{eqnarray*} k>m \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |x_k|<\frac{\varepsilon}{2Y} \end{eqnarray*}$

gilt. Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} |z_n|=\left|\sum_{k=0}^n~x_ky_{n-k}\right|\leq \sum_{k=0}^n~|x_k|\cdot |y_{n-k}|=\sum_{k=0}^m~|x_k|\cdot |y_{n-k}|+\sum_{k=m+1}^n~|x_k|\cdot |y_{n-k}| \end{eqnarray*}$ ,

was ohne Summenzeichen so aussieht:

$\begin{eqnarray*} |z_n|=|x_0y_n+x_1y_{n-1}+\ldots+x_ny_0|\leq |x_0|\cdot |y_n|+|x_1|\cdot |y_{n-1}|+\ldots+|x_n|\cdot |y_0| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(|x_0|\cdot |y_n|+\ldots+|x_m|\cdot |y_{m-n}|)+(|x_{m+1}|\cdot |y_{n-m-1}|+\ldots+|x_n|\cdot |y_0|) \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du nun geeignet abschätzen, falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genügend groß ist.

Gruß MSS

08.12.2005, 21:26

Sunwater

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ganz ehrlich - ich weiß nicht, wie...

ich meine du hast ja sicher das $\begin{eqnarray*} |x_k| < \frac{\epsilon}{2Y} \end{eqnarray*}$ nicht umsonst hingeschrieben... - also werd ich irgendwann die Definition von Y einsetzen müssen und das in beiden teilen, damit das dann epsilon ergibt...

hier mein Versuch, aber ich weiß nicht, ob das korrekt ist...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m~{|x_k||y_{n-k}|} + \sum_{k=m+1}^n~{|x_k||y_{n-k}|} < \sum_{k=0}^m~{\frac{\epsilon}{2Y}|y_{n-k}|} + \sum_{k=m+1}^n~{\frac{\epsilon}{2Y}|y_{n-k}|} = \frac{\epsilon}{2Y}*\sum_{k=0}^m~{|y_{n-k}|} + \frac{\epsilon}{2Y}*\sum_{k=m+1}^n~{|y_{n-k}|} < \frac{\epsilon}{2Y}*Y + \frac{\epsilon}{2Y}*Y = \epsilon \end{eqnarray*}$

aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das so geht... - erstens glaube ich nicht, dass ich einfach Y für die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^n~{|y_{n-k}|} \end{eqnarray*}$ einsetzen darf und zweitens hättest du es sicher nicht getrennt aufgeschrieben, wenn nicht eine getrennte Betrachtung der beiden Teilsummen notwendig wäre...

09.12.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zunächst kannst du ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass für $\begin{eqnarray*} k>m \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |x_k|<\frac{\varepsilon}{2Y} \end{eqnarray*}$

gilt.

Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} k>m \end{eqnarray*}$ , deswegen kannst du beim ersten Summanden nicht so abschätzen! Darum auch die Aufteilung ...
Ich mach mal weiter: Sei $\begin{eqnarray*} \xi:=\max\{x_1,\ldots,x_m\} \end{eqnarray*}$ o.B.d.A $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=r}^{\infty}~|y_k|<\frac{\varepsilon}{2\xi} \end{eqnarray*}$

gilt. Sei $\begin{eqnarray*} n_0:=m+r \end{eqnarray*}$ . Schätze nun die obige Aufteilung für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ ab.

Gruß MSS

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