Kurvendiskussion....

17.04.2004, 20:36

mcs

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Kurvendiskussion....

Ich hab ca. 10 Seiten durchgeblaettert aber zu meiner Aufgabenform nicht wirklich was gefunden...

f(x)= $\begin{align*} (x^2-4)*(x-3) \end{align*}$

Wir haben bisher nur Funktionen ohne Klammer diskutiert, und da auch nur simple. Problem ist dass ich nicht weiss was ich wegen der Klammer anfangen soll... Muss ich die irgendwie aufloesen oder sowas?

Mein Mathelehrer ist 64 und kann die Kreide schwingen bis sie Glueht. Aber erklaeren kann er nicht... traurig

traurig

17.04.2004, 20:40

Gnu

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Entweder Du leitest mit Produktregel ab:

http://www.mathematik.net/diff1/da3s3p1.gif

Oder multiplizierst aus und leitest dann ab.

17.04.2004, 20:46

Conny_84

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Ja, genau, entweder du löst die Klammern auf, aber mit der Produktregel geht es schneller:

2x(x-3) + (x^2-4)*1 8)

17.04.2004, 20:46

Drödel

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RE: Kurvendiskussion....
Was willst du eigentlich mit dieser Funktion machen? "Volles Programm" ?

Schreib die Funktion zur Nullstellenbestimmung in faktorisierter Form f(x)=(x-2)(x+2)(x-3) und multipliziere zum Ableiten aus. ...

Was du allerdings ganau machen musst um zum Ziel zu gelangen, kann ich dir erst sagen, wenn ich dein Ziel kenne Augenzwinkern

Augenzwinkern

Happy Mathing

17.04.2004, 20:49

mcs

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Danke erstmal... smile

smile

Von der Produktregel habe ich noch nie etwas gehoert...

Also bleibt wohl nur ausmultiplizieren... Koenntet mir bitte den Weg dahin leiten? smile

smile

17.04.2004, 20:51

mcs

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Hallo... Ich will eine komplette Kurvendiskussion durchfuehren.

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17.04.2004, 21:12

wujack

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f(x)=(x²-4)*(x-3)

f`(x)=2x(x-3) + (x²-4)*1= 2x²-6x+x²-4=3x²-6x-4

f``(x)=6x-6

f```(x)=6

f(0)=(x²-4)*(x-3)=0 x1=2, x2=-2, x3=3

f(x)=0 --> 0-4*0-3=12

f`(x)=0 --> -7

f``(-7)=<0 = lok.maximum

kanns sein das ich irgendwo nen Fehler hab?

17.04.2004, 21:20

mcs

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Hallo...

smile

Ich danke dir, mit der Aussage kann ich glaube ich alles andere der diskussion loesen...

Sorry wenn das alles Primitiv rueberkommt, aber ihr kennt meinen lehrer nicht. Letzte klausur war ich mit einer 3 der zweitbeste... dem sind wir alle egal geschockt

geschockt

Bei Problemen melde ich mich

18.04.2004, 12:19

mcs

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Hallo....

Ich bins wieder, Ich haenge wieder an einer Aufgabe fest.

Ich habe die Aufgabe mal angehaengt. W ie muss ich die funktion umformen, dass ich die Extremwerte ermitteln kann?

PS. wujack ich habe die Funktion multipliziert und raus kam: $\begin{align*} f(x)=x^3-3x^2-4x+12 \end{align*}$ damit konnte ich wunderbar diskutieren smile

smile

18.04.2004, 12:40

mcs

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Ich denke ich habs.... 1. Ableitung und Polynomdivision....

Das kommt davon wenn man versucht mathe vor dem ersten Kaffe zu machen smile

smile

18.04.2004, 14:57

mcs

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Salve....

smile

Ich habe jetzt wieder einige funktionen Diskutiert und haenge wieder an einer Fest:

$\begin{align*} f(x)=3-2,5x^2+x^4 \end{align*}$

Was mich irritiert ist, das der groesste exponent $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ hinten steht und vorne zwei Zahlen ohne irgendwas. Ich vermute die 2,5 bezieht sich auf $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ . Kann ich die Funktion einfach nach $\begin{align*} x^4-2,5x^2+2 \end{align*}$ umstellen?

Wie mach ich das das ich Diskutieren kann? Gott

Gott

18.04.2004, 15:28

Gnu

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Das sind Verwirrtaktiken, natürlich kannst Du:

$\begin{align*} f(x) = 3 - 2,5x^2 + x^4 \end{align*}$ auch als $\begin{align*} f(x) = x^4 - 2,5x^2 + 3 \end{align*}$ schreiben.

Tipp hier: Substitution für $\begin{align*} x^2 = u \end{align*}$

18.04.2004, 15:34

mcs

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Soso... der gegner arbeitet mit allen Tricks Big Laugh

Big Laugh

Danke fuer die Hilfe smile

smile

PS. Ich Substituiere lieber mit $\begin{align*} x^2=t \end{align*}$

18.04.2004, 15:37

Gnu

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Welchen Buchstaben man jetzt dafür hernimmt ist vollkommen gleich, das ist von Schule zu Schule und teilweise von Lehrer zu Lehrer unterschiedlich...

18.04.2004, 17:36

mcs

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Weiss ich... Big Laugh

Big Laugh

Trotzdem Danke smile

smile

18.04.2004, 17:43

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Gnu
Welchen Buchstaben man jetzt dafür hernimmt ist vollkommen gleich, das ist von Schule zu Schule und teilweise von Lehrer zu Lehrer unterschiedlich...

Teilweise sogar von Schüler zu Schüler geschockt

geschockt

Augenzwinkern

18.04.2004, 19:28

mcs

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Hallo...

smile

Ich habe hier jetzt folgende Funktion: $\begin{align*} 4x-1/20x^5 \end{align*}$ . Die habe ich umgeformt zu: $\begin{align*} -1/20x^5+4x \end{align*}$

Das habe ich Multipliziert mit $\begin{align*} *(-20) \end{align*}$

Und habe jetzt: $\begin{align*} x^5-80x \end{align*}$

Wie komme ich an die Nullstellen von einer Funktion die mit x5 beginnt?

18.04.2004, 19:43

Gnu

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$\begin{align*} f(x) = x^5 - 80x = x * (x^4 - 80) => x_1 = 0 \end{align*}$

Jetzt haben wir nur noch 4 Nullstellen zu ermitteln...hilft das?

18.04.2004, 19:48

mcs

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Die Funktion hat nur drei Nullstellen. Die eine ist 0 Das habe ich schon mit Taschenrechner ausprobiert...

Ich glaube so kann ich weitermachen...

Ist es so das ich JEDE Funktion n-ten Grades mit der ausklammermethode vereinfachen kann?

18.04.2004, 19:52

Gnu

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Hmm, irgendwie tun mir die Ferien net gut Big Laugh

Big Laugh

Ja, Ausklammern kann sehr oft helfen, wenn Du z.b. x² ausklammern kannst hast Du sogar schon 2 Nullstellen (bzw. eine doppelte) gefunden...

Hab mich zu dieser Uhrzeit noch aus der gedanklichen Versenkung heraufgezogen:

Also: $\begin{align*} \pm \sqrt{80} \end{align*}$ sind jeweils doppelte Nullstellen, ansonsten kommt man ja mit 3 Nullstellen bei einer Gleichung 5. Grades nicht hin....

19.04.2004, 10:59

mcs

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Hallo...

Ich habe die richtigen Ergebnisse der Aufgabe raus, aber ich fürchte ich habe einen falschen Rechenweg genommen. Mein Mathelehrer würde mir in einer Klausur einen Strick daraus drehen. Hier mein Rechenweg:

Nullstellen:

$\begin{align*} 0=-1/20x^5+4x \end{align*}$

$\begin{align*} 0=-1/20x^5+4x |*(-20) \end{align*}$

$\begin{align*} 0=x^5-80x \end{align*}$

$\begin{align*} 0=x(x^4-80) \end{align*}$

$\begin{align*} 0=x^4-80 |+80 \end{align*}$

$\begin{align*} 80=x^4 |\pm \sqrt[4]{80} \end{align*}$

$\begin{align*} \pm \sqrt[4]{80} =x \end{align*}$

$\begin{align*} x=-2,99 ; X=2,99 \end{align*}$

Wie ihr sehen koennt habe ich ausgeklammert und die 4. Wurzel gezogen. Meine Frage ist: Woher weiss ich, dass ich ausklammern muss? Gibt es eine Faustregel? Oder etwas woran ich das erkennen kann? Kann ich nicht mit $\begin{align*} x^5 \end{align*}$ rechnen?

Nun suche ich die Extremwerte:

$\begin{align*} f´(x)=-1/4x^4+4 \end{align*}$ <----------- 1. Ableitung

$\begin{align*} 0=-1/4x^4+4 |*(-4) \end{align*}$

$\begin{align*} x^2=t \end{align*}$ <--------Subtitution

$\begin{align*} 0=t^2-4 |+4 \end{align*}$

$\begin{align*} 4=t^2 |\sqrt{4} \end{align*}$

$\begin{align*} \pm \sqrt{4}=t \end{align*}$

$\begin{align*} t=2 ; t=-2 \end{align*}$

Die Extremwerte liegen bei x=2 und x=-2 Aber ich muss doch das t wieder nach $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ zuruecksubtituieren. Dann muesste uch aus den 2 Noch eine Wurzel ziehen um auf x zu kommen... Ich kann das doch nicht einfach so lassen?

Jetzt suche ich den Wendepunkt:

$\begin{align*} f´´(x)=-1x^3 \end{align*}$ <------------- 2. Ableitung

Hier muss ich auf 0 Kommen...

Allerdings komme ich immer auf 1 Was ja Falsch ist.

Ich hoffe mir kann geholfen werden smile

smile

Hier mal der Graph:

19.04.2004, 11:09

johko

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Zitat:

Wie ihr sehen koennt habe ich ausgeklammert und die 4. Wurzel gezogen. Meine Frage ist: Woher weiss ich, dass ich ausklammern muss? Gibt es eine Faustregel? Oder etwas woran ich das erkennen kann?

Regel: IMMER zuerst soviel ausklammern wie möglich.
Ausserdem fehlt da noch die Nullstelle bei x = 0, die sich aus dem ausgeklammerten x ergibt.

Zitat:

Die Extremwerte liegen bei x=2 und x=-2 Aber ich muss doch das t wieder nach zuruecksubtituieren. Dann muesste uch aus den 2 Noch eine Wurzel ziehen um auf x zu kommen... Ich kann das doch nicht einfach so lassen?

Nöö, aus t=-2 gibt es keine Wurzel und aus t = 2 musst du die beiden Wurzellösungen nehmen!
Die 2. Ableitung ist ja wohl
f´´ (x)=4*(-1/4)x^3=-x^3

Johko

19.04.2004, 11:31

CalcDesaster

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Zitat:

Meine Frage ist: Woher weiss ich, dass ich ausklammern muss? Gibt es eine Faustregel? Oder etwas woran ich das erkennen kann?

Die Funktion ist:
$\begin{align*} f(x)=-\frac{1}{20}x^5+4x \end{align*}$
Du siehst dass jeder Summand x beinhaltet also ist bei der Suche nach Nullstellen auf jeden Fall Ausklammern angesagt smile

smile

du kannst dann aber noch mehr sehen.
$\begin{align*} f(x)=-\frac{1}{20}x(x^4-80)=x(x^2+\sqrt{80})(x^2-\sqrt{80}) \end{align*}$
Hier siehst du schon alle Nullstellen. Natürlich geht das nicht immer aber oft hilft scharfes hinsehen.
@ johko: dass es Wurzel -2 nicht gibt halte ich für ein Gerücht.
Die Ableitungen waren schon ok.
$\begin{align*} f'(x)=-\frac{1}{4}x^4+4 \end{align*}$
$\begin{align*} f''(x)=-x^3 \end{align*}$
$\begin{align*} f'''(x)=-3x^2 \end{align*}$
Auch hier hilft faktorisieren.
$\begin{align*} f'(x)=-\frac{1}{4}(x^4-16)=-\frac{1}{4}(x^2+4)(x^2-4) \end{align*}$
Und man sieht auch mehr oder weniger smile

smile

sofort alles was einen interessiert.

19.04.2004, 12:53

johko

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Zitat:

@ johko: dass es Wurzel -2 nicht gibt halte ich für ein Gerücht.

Ich denke immer noch, dass es besser ist, den Fragenden dort abzuholen , wo ER sich befindet und ihn nicht mit weiterführendem Wissen zusätzlich zu verwirren. Dieser hier tummet sich schlecht und recht im Bereich der reellen Zahlen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2004, 15:52

mcs

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Aha... Also Grundsätzlich bevor ich mit Nullstellen anfange, ausklammern soweit wie es geht... Sehe ich das richtig? Big Laugh

Big Laugh

19.04.2004, 16:11

CalcDesaster

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Also ich denke du solltest dir immer mal vor Augen halten was du erreichen möchtest.
Bei der Suche nach Nullstellen ist das nun einmal Hilfreich die Funktion zu faktorisieren, weil man dann immer sehen kann, wenn einer der Faktoren Null ist, so ist die ganze Funktion Null.
Wenn ich Ableitungen bilde, dann mache ICH das nicht, liegt aber nur dadran dass es mir leichter fällt eine Summe abzuleiten als mit der Produktregel rumzukrebsen. Es gibt Leute die das wiederum lieber machen.

Ganz allgemein kann ich da nur sagen. Erstmal überlegen was es mir bringt, wenn ich etwas tue. Sehe ich dann mehr ?? Wenn ja ist es sinvoll, wenn nein, warum die Arbeit machen.

@johko war nicht bös gemeint. ich denke halt manchmal sollte man wissen dass es sachen gibt, die man nicht versteht und später mal lernt,anstatt zu glauben es wäre nicht möglich.

19.04.2004, 18:45

mcs

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Hallo...

Das es Moeglichkeiten gibt die ausserhalb meiner jetztigen Wissensreichweite liegt ist mir schon klar smile

smile

Nochmal zum Thema Subtitution oben: Es ist mir klar das ich in dem Falle nur von positiven zahlen die Wurzel ziehen kann. Jedoch ist das Ergebniss dann falsch wenn ich $\begin{align*} t=x^2 \end{align*}$ zurueck subtituiere, dann kommt ja $\begin{align*} x= \pm 1,414 \end{align*}$ raus.

Ich habe immer gelernt, wenn ich subtituiere muss ich das fuer ein Endergebniss auch wieder rueckgaengig machen.

19.04.2004, 19:14

Sven

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Kann mir jemand die Differentialrechnung anhand eines Beispiels erklären?

19.04.2004, 20:12

mcs

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Was macht so eine Frage in meinem schoenen Tread? geschockt

geschockt

Erstelle doch ein eigenen smile

smile

19.04.2004, 20:18

BraiNFrosT

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@mcs

Ich bin nicht ganz im Bilde, was die Aufgaben angeht, aber wenn du
für t=2 raushattest musst du rücksubstituieren. Das ist richtig,
das Ergebnis wäre dann $\begin{align*} \pm \sqrt{2} \end{align*}$

@Sven
Ein eigener Thread wäre hilfreich und vielleicht eine genauere
Angabe was du wissen möchtest. Sieh dir doch einfach
erstmal die Workshops an. Da ist schon viel erklärt

19.04.2004, 20:22

johko

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Da war ein Rechenfehler es kommt t =4 und -4 raus. OIch hatte es auch nicht nachgerechnet, sondern nur übernommen.

Johko

19.04.2004, 20:30

BraiNFrosT

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Dementsprechen ändern sich dann natürlich die Werte
$\begin{align*} x_{1,2} = \sqrt{-4} \end{align*}$ nicht definiert in $\begin{align*} \calR \end{align*}$
$\begin{align*} x_{3,4} = \pm \sqrt{4} \end{align*}$
$\begin{align*} x_3=2 und x_4=-2 \end{align*}$

19.04.2004, 20:41

mcs

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo...

Hier nochmal die Rechnung:

Nun suche ich die Extremwerte:

$\begin{align*} f´(x)=-1/4x^4+4 \end{align*}$ <----------- 1. Ableitung

$\begin{align*} 0=-1/4x^4+4 |*(-4) \end{align*}$

$\begin{align*} x^2=t \end{align*}$ <--------Subtitution

$\begin{align*} 0=t^2-4 |+4 \end{align*}$

$\begin{align*} 4=t^2 |\sqrt{4} \end{align*}$

$\begin{align*} \pm \sqrt{4}=t \end{align*}$

$\begin{align*} t=2 ; t=-2 \end{align*}$

Wenn ich jetzt ruecksubtituiere also $\begin{align*} t=x^2 \end{align*}$ nehme, muss ich um auf x zu kommen $\begin{align*} \pm \sqrt{2} \end{align*}$ nehmen das waeren dann $\begin{align*} \pm 1,414 \end{align*}$ . Dann stimmt aber das Endergebniss nicht mehr. Weil die Extremwerte bei $\begin{align*} \pm 2 \end{align*}$ liegen. smile

smile

19.04.2004, 20:46

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von mcs

$\begin{align*} 0=-1/4x^4+4 |*(-4) \end{align*}$

$\begin{align*} x^2=t \end{align*}$ <--------Subtitution

und dann folgt

$\begin{align*} 0=t^2-16 \end{align*}$

=> $\begin{align*} t_1=4 \end{align*}$ oder $\begin{align*} t_2=-4 \end{align*}$

weiter siehe die oberen Posts ....
und vielen Dank an johko, sonst wärs nämlich falsch ...

19.04.2004, 20:46

johko

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Sagte ich nicht, du hättest einen rechenfehler?
*dudumach* smile

smile

19.04.2004, 20:47

mcs

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Vergesst alles was ich gesagt habe.

Ich habe einen Fehler vorher gemacht.

19.04.2004, 20:49

johko

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Und der wäre?

19.04.2004, 20:50

mcs

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Hehe.... Da posten drei Gleichzeitig Big Laugh

Big Laugh

Danke fuer eure Geduld, ich sah den Wald vor Baeumen nicht. Jetzt ergibt es einen Sinn smile

smile

19.04.2004, 20:52

johko

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*kerbeinstuhllehneritz* 8)

19.04.2004, 20:52

mcs

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Zitat:

Original von johko
Und der wäre?

$\begin{align*} 0=-1/4x^4+4 |*(-4) \end{align*}$

$\begin{align*} 0=x^4-16 \end{align*}$ <------ so muss das sein :P

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