reihen die konvergieren aber nicht absolut - gesucht!!

05.12.2005, 19:48

gast1

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reihen die konvergieren aber nicht absolut - gesucht!!

Hi, ich bin auf der suche nach reihen die konvergieren aber nicht absolut konvergieren.
ich weiss was absolute konvergenz ist nur fallen mir keine folge ein für die es gelten könnte.gibt es da bestimmtes vorgehen wie man eine solche reihe findet????

danke schon mal für antworten.

05.12.2005, 20:07

Mathespezialschüler

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Nimm z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.12.2005, 21:01

gast1

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verstehe. kann ist das eine harmonische reihe und die divergiert. gibt es noch andere. das ist dann sozusagen ein standardbeispiel. aber ich würd mich über andere freuen. muss nämlich welche angegeben. aber kein plan.

05.12.2005, 21:12

4c1d

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Allgemein sind Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergent (Leibniz-Kriterium). Wenn du noch weitere bedingt konvergente Reihen suchst, untersuche doch einmal allgemein Reihen dieser Art. Reihen, bei denen sowohl positive als auch negative Folgenglieder auftreten, eignen sich oft, weil dann die Summe konvergiereren kann, während die Summe der Absolutbeträge möglicherweise (bestimmt) divergiert.

05.12.2005, 22:03

gast1

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danke. das hat schon sehr geholfen. zumindest theoretisch.
praktisch ist aber so ne sache mit dem ausprobieren.
hab jezt sowas gemacht: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}^n)*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . da konvergiert das aber absolut. dann hab ich $\begin{eqnarray*} (-1)^n*\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ proboert. konvergiert auch absolut. und viele anderen, die ich untersucht hab konverfieren auch absolut.
da kann man ja ewig rumprobieren. geht das vielleicht auch anderst? hab was vom umordnungssatz gehört. vielleicht hilft das?

05.12.2005, 22:07

JochenX

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Zitat:

Original von gast1
$\begin{eqnarray*} (-1)^n*\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ proboert. konvergiert auch absolut.

das sollte aber sogar unabsolut divergieren verwirrt

verwirrt

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05.12.2005, 22:12

gast1

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ja klar. ich meinte auch $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .
noch ne frage. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert doch, oder? bin nämlich auch noch auf der suche nach ner reihe die konvergiert, aber die divergiert, wenn man die quadriert. wollte schon $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{\sqrt{n}})^2= \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ machen.

05.12.2005, 22:13

20_Cent

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Zitat:

Original von gast1
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert doch, oder?

nein, wie kommst du da drauf?
mfG 20

05.12.2005, 22:15

JochenX

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beachte, dass der faktor 2 nix (aber auch gar nix) am konvergenzvehalten ändert

somit gilt: deine reihe über (-1)^n/wurzel(n) konvergiert absolut, wenn deine andere reihe konvergiert
die reihen haben nämlich nur den faktor 2 als unterschied, den kannst aber vor die summe ziehen

05.12.2005, 22:22

gast1

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@20
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder nicht?
wenn ich falsch liege, dann ist es ja um so besser. dann hab ich nämlich eine reihe gefunden, die konvergiert, wenn man die aber quadriert, dann divergiert sie. also wäre nett wenn mir das jetzt nochmal sagen könnte, ob das mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ geht

@LOED
ja, das weiss ich schon, dass der faktor nichts ändert, weil das dann einfach ein vielfaches ist.
aber was meinst du mit:

Zitat:

Original von LOED
somit gilt: deine reihe über (-1)^n/wurzel(n) konvergiert absolut, wenn deine andere reihe konvergiert

welche andere reihe meinst du?

05.12.2005, 22:25

20_Cent

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sorry, hab mal wieder nicht richtig hingeguckt, sie divergiert.
mfG 20

edit: hatte übersehen, dass es um reihen geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.12.2005, 22:25

JochenX

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Zitat:

Original von gast1
ja klar. ich meinte auch $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

konvergiert nach deinen worten einen post früher

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert doch, oder?

das aber passt nicht zusammen, merkst du was?

achja: sei etwas genauer, sage, dass DIE REIHEN über diesen folgen kon- bzw. divergieren

05.12.2005, 22:30

gast1

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ja. klar. danke. hab das jetzt verstanden.

aber wirklich schade, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert.
jetzt bin ich mal so dreist und frage einfach mal ob ihr nicht so ne konvergente reihe kennt die divergiert wenn man sie quadriert. ich hab mich kaputt gesuch, aber finde nicht. brauch aber leider eine bis morgen.

05.12.2005, 22:44

Master

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Da würde ich persönlich in den Reihen suchen, die mit $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ arbeiten Wink

Wink

05.12.2005, 23:43

Mathespezialschüler

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Probiere es doch mal mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Die konvergiert. Die Summe der Quadrate der Glieder divergiert aber.

Gruß MSS

06.12.2005, 00:21

gast1

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oh ja, stimmt. danke schön!!! sehr geholfen!!

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