Divergenzbeweis komplexer Folge

05.12.2005, 23:14

Passepartout

Divergenzbeweis komplexer Folge

Hallo,

ich habe heute ein wenig mit einem Komilitonen geschnackt und bin nun vollkommen verwirrt bezüglich Konvergenz von Reihen und Folgen...
Deswegen verzeiht, wenn ich schon wieder eine Frage stelle traurig

(Das blöde ist, dass die Vorlesungen immer so unglaublich theoretisch sind, ich leider aber mehr durch Beispiele lerne, die immer zu kurz kommen. Vielleicht kennt ja jemand eine gute Webseite oder ein gutes Buch zum Thema?)

Ok, es geht um folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Behauptung: Die Folge divergiert!
Beweisansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} b_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n := i^n \end{eqnarray*}$ .

Dann ließe sich der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = bc \end{eqnarray*}$ angeben, sofern diese Grenzwerte existieren.

Die Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ hat jedoch vier Häufungswerte, nämliche $\begin{eqnarray*} {1,-1,i,-i} \end{eqnarray*}$ und divergiert damit.
Damit folgt auch unmittelbar, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert.

Ist das schon ausreichend und der Ansatz so durchführbar?

Für Antworten danke ich sehr und für Tipps für Webseits ebenso.

Liebe Grüße Wink

,
Michael

05.12.2005, 23:43

JochenX

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aber deine zählefolge ist beschränkt
ich vermute frei raus, dass dann auch im komplexen gilt, dass deine folge konvergiert (nämlich gegen 0=0+0i)

05.12.2005, 23:54

Passepartout

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Hallo,

Danke für Dein Posting smile

Kann man im komplexen eigentlich von Beschränktheit reden?
Ist die Definition der Beschränkheit nicht:

$\begin{eqnarray*} \exists s\in\mathbb{R}~\forall n\in\mathbb{N}~:~a_n \leq s \end{eqnarray*}$

Und ich meine, dass die komplexen Zahlen nicht anordbar sind?

Gruß,
Michael

05.12.2005, 23:58

JochenX

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dann eben |a_n|<s
ist dir das lieber?

06.12.2005, 00:01

Passepartout

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Zitat:

Original von LOED
dann eben |a_n|<s
ist dir das lieber?

Sorry, dass ich mich vielleicht ein wenig dumm anstelle, aber ich bin echt im Moment vollkommen verwirrt. Danke in jedem Fall für den Hinweis, werd mir mal den Bleistift krallen Augenzwinkern

Gruß

,
Michel

06.12.2005, 00:04

Mathespezialschüler

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Warum bist du denn verwirrt? Beschränktheit in den komplexen Zahlen heißt einfach, dass der Betrag beschränkt ist, dass also der Abstand zum Nullpunkt nicht beliebig groß wird. So kann man es im Reellen ja auch formulieren, einen großen Unterschied gibt es da also nicht. Und wenn du eine Nullfolge mit einer beschränkten Folge multiplizierst, dann kommt auch im Komplexen wieder eine Nullfolge raus.

Gruß MSS

06.12.2005, 00:26

Passepartout

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Hallo,

ich habe ganz, ganz große Probleme mit Beweisen für Konvergenz und Divergenz. Ok, wir machen das nun noch nicht lange, aber irgendwie so praxisfern, da ist es ganz schwierig das hinzubekommen.

Habe nun folgendermaßen die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$ bewiesen:

Satz: Jede beschränkte, monotone Folge konvergiert:
i) Zeige Beschränkheit
Sei $\begin{eqnarray*} s = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gegeben, so gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_n| = |\frac{i^n}{n}| = \frac{1}{n}~|i|^n = \frac{1}{n} \leq s \end{eqnarray*}$

ii) Zeige Monotonie
Seien $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ gegeben, dann ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| &=& \left|\frac{i^{n+1}}{n+1} - \frac{i^n}{n} \right| =|i^n| \cdot \left|\frac{i}{n+1} - \frac{1}{n} \right|\\ &=& \left|\frac{ni-n-1}{n(n+1)} \right| = \frac{|-(n+1)+in |}{n(n+1)}\\ &=& \frac{ \sqrt{2n^2+2n+1}}{n(n+1)} > 0 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Folge.

Scheint mir irgendwie doch sehr kompliziert geworden zu sein Augenzwinkern

Gruß

,
Michael

06.12.2005, 00:31

Mathespezialschüler

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Im Komplexen kann man nicht von Monotonie sprechen, eben weil $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht angeordnet werden kann, wie du selbst ja schon festgestellt hast. Der Satz, dass eine monotone, beschränkte Folge konvergiert, gilt nur im Reellen, weil Monotonie im Komplexen ja nichtmal formuliert werden kann.
Aber es reicht doch mit dem, was du bei der Beschränktheit gemacht hast! Dass $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$ geht, bedeutet, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_n-0|=|a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hast du schon herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} |a_n|=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

ist und das bekommst du auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ , weil es ja selbst eine Nullfolge ist.

Gruß MSS

06.12.2005, 00:39

Passepartout

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Hallo,

hatte mir schon irgendwie sowas gedacht, von wegen Monotonie und komplexen Zahlen :S

Also reicht als Beweis schon:
Beh: Folge konvergiert gegen 0.

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N = \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ gegeben, dann gilt für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_n-a| = |a_n| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} = \varepsilon \end{eqnarray*}$

Mensch, das wär ja doch einfacher als angenommen.

Vielen dank in jedem Fall schon einmal smile

Gruß

,
Michael

06.12.2005, 06:47

Leopold

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Die Null wird in den Würgegriff genommen.

06.12.2005, 10:30

Passepartout

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Hallo Leopold,
danke für Dein Bild.

Sag mal, hast Du das mit einem bestimmten Programm gemacht, das könnte sich vielleicht als nützlich erweisen Augenzwinkern

Wäre toll, wenn Du mir einen Link postest.

Lieben Gruß Wink

,
Michael

06.12.2005, 13:18

Mathespezialschüler

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Ja, so ist der Beweis ok (falls in eurer Definition nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten muss). Freude

Gruß MSS

06.12.2005, 13:35

Passepartout

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Hallo,

ok, vielen Dank an Euch alle!

Wäre echt ganz schön aufgeschmissen ohne Euch Gott

Liebe Grüße Wink

Michael

06.12.2005, 13:48

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, so ist der Beweis ok (falls in eurer Definition nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten muss). Freude

Gruß MSS

und wenn doch: gaußklammer und verwandte machen so einiges möglich

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