Parameterdarstellung einer Ebene berechnen

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mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung einer Ebene berechnen
Ich habe eine Ebene in Koordinatenform gegeben wie rechne ich sie in die Parameterdarstellung um???

johko Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet ja auch:


Wenn daraus jetzt x,y, und z so gewählt werden, dass "-4" rauskommt, ergibt das schonmal einen Startpunkt der Ebene. Einfacherweise wähle ich dazu x und y =0 und erhalte aus dem Rest : z = 2
(0/0/2) ist also ein brauchbarer Startpunkt - in diesem Fall der Punkt, an dem die Ebene die z-Achse schneidet.
Die beiden Richtungsvektoren müssen senkrecht zu dem Normalvektor

sein.
(Stell dir das wie eine Stricknadel in Normalrichtung und einen Bierdeckel vor, der die Ebene simuliert und genau senkrecht auf der Nadel steckt. Die Richtungsvektoren der Ebene liegen dann auf zwei Geraden auf dem Bierdeckel durch den Durchstoßpunkt. Davon gibt es einen ganzen Sonnenkranz.)
Jedenfalls gilt für jeden einzeln wegen des Senkrechtstehens:


Das Wählen geschieht ähnlich wie oben beim Startpunkt. versuchs mal.
johko
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterdarstellung einer Ebene berechnen
Zitat:
Original von mausi201
Ich habe eine Ebene in Koordinatenform gegeben wie rechne ich sie in die Parameterdarstellung um???



johko geht geometrisch (schön) vor, dann ist der Rechenaufwand leider ein wenig größer (unbestritten: Man lernt was dabei!)

Einfacher geht es, wenn man in der Gleichung

3x + 17y - 2z = -4

zwei Variable einfach durch Parameter ersetzt. Das kann man machen, weil nur eine Gleichung in 3 Variablen vorliegt und daher die Wahlfreiheit für 2 Variable besteht (genau so, wie bei der Ermittlung des Startpunktes!)

x = r
[= 0 + 1*r + 0*s]

y = s
[= 0 + 0*r + 1*s]

->> 2z = 3r + 17s + 4
z = 2 + (3/2)*r + (17/2)*s

Somit lautet eine Parameterform der Ebene:

X = (0;0;2) + (1;0;(3/2)*r + (0;1;(17/2)*s

die Richtungsvektoren kann man noch "verlängern" (mit 2 mult.):

X = (0;0;2) + (2;0;3)*r + (0;2;17)*s

Übrigens, die unabhängig voneinander ermittelten (richtigen) Ergebnisse kann man nicht direkt vergleichen, weil es unendlich viele Parameterdarstellungen ein- und derselben Ebene gibt.

Gr
mYthos
mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank Mythos 8)
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich mach's eigentlich immer so, dass ich mir 3 Punkte suche, die die Koordinatengleichung erfüllen, das wären hier z.B:

A(0|0|2) B(-4/3|0|0) C(0|-4/17|0).

Dann is die Ebene in Parameterform:

(als Beispiel, man kann auch b oder als Stützvektor nehmen, wichtig ist nur, dass alle 3 Punkte irgendwie vorkommen und die Spannvektoren lin. unabh. sind)

Find' ich persönlich am einfachsten. Man muss halt nur aufpassen, dass die 3 Punkte nicht auf einer Ebene liegen.
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, bin neu hier und möchte gleich daran noch eine Frage anschließen. Angenommen ich habe nicht 2x+3y+5z=0 gegeben sonder nur 3y+5z=0 Wie kriege ich das dann auf dieselbe Art hin?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hat der Normalvektor die Form
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche aber nicht den NV sondern die Parametergleichung
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor liegt in der y,z-Ebene. Das heisst lediglich, dass die x-Achse parallel zur Ebene liegt oder darin.
Die Parametergleichung errechnet sich damit wie oben.
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Frage war eigentlich wie man die Methode von Müthos nun hernimmt wenn ebend x=0 ist
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch meine smile
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok dann bitte etwas genauer erklären verwirrt Man nehme x, y undz so das -4 rauskommt? Heißt das 3*x= -4
17*y=-4 usw??
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Hierbei handelt es sich um das Skalarprodukt. Umgewandelt ergibt das genau die Koordinatengleichung.
Dort war das:
3*x+17*y-2*z =-4
Nach deiner Aufgabenstellung wäre es:
0*x+3*y+5*z=0

Hierbei wäre z.B. x=1; y=0; z=0 die einfachste Möglichkeit der Wahl für den Startpunkt. {(1/0/0)} Für x hätte ich sogar alles Mögliche wählen können, damit Null rauskommt.
Jetzt mußt du 2 Vektoren wählen, die senkrecht zum Normalvektor stehen usw.
Kannst du jetzt allein weiter machen?
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Hm so langsam wirds klar... danke. Mal sehn ob ich das allein hinkrieg. verwirrt
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetz mal die Probe:
Ich habe die Gleichung:
3y-4z+4=0

Der Aufpunkt wäre also z.B.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Nöö, das muß erst umgeformt werden:
0x+3y+4z =-4
dann wird es dem ersten beispiel wieder ähnlicher.
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso umformen kommt doch eh dasselbe raus?
x=0
y=0 , da sich bei 4*z = 4*1 es mit dem +4 aufhebt und 0 ergibt.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte da "-1" raus, allerdings falsch abgeschrieben, wie unschwer zu sehen. ... smile
Also okay, meine Dusseligkeit.
Weiter ..
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab folgendes raus:

johko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste wegen der senkrechten richtungsvektoren ja gelten:


und



Tuts aber nicht.
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nein es geht um eine neue Aufgabe bitte genau hingucken Augenzwinkern NICHT 0,3,5 sondern 0,3,4
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Das ändert im Prinzip nix ...
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Pardon die Aufgabe ist mit
0, 3, -4 und -4 als Ergebniss
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt meine FALSCHE Rechnung und es kommt
raus.
Aber auch dann stimmt deine weitere Berechnung prinzipiell immer noch smile nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Takeshi
....
Find' ich persönlich am einfachsten. Man muss halt nur aufpassen, dass die 3 Punkte nicht auf einer Ebene liegen.


Also das ist ziemlicher Unsinn. Gerade DAS muss eintreten, alle drei Punke MÜSSEN auf der Ebenen liegen.

Ich finde johko's Methode, wie schon gesagt, umständlich. Und er hat offensichtlich wenig Lust, meine zu akzeptieren. So wird m.E. auf der Stelle getreten und keine Klarheit erzielt.

Bei
3y + 5z = 0
ist wegen des fehlenden x (eigentlich ist 0*x anzunehmen) der Parameter für x zwingend anzusetzen (für x ist jeder Wert einsetzbar) und dann der zweite entweder für y oder z:

x = s
y = 5t (dann erspart man sich Brüche)
->> 5z = -15t -> z = -3t

X = (0;0;0) + s(1;0;0) + t*(0;5;-3)

Gr
mYthos
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ooooch Mythos -- das darfst du nicht von mir denken. Hab nur Geduld - da wäre er auch so noch von selbst drauf gekommen. Ich habe eben ein Herz für den Laien, der gerne was Anschauliches möchte. Erstens, weil ich selbst eigentlich aus einem humanistischen Gymnasium komme und mir alles selbst erst einmal mühsam klar machen musste, und zweitens, weil ich es im Internat hauptsächlich mit Laien zu tun hatte. Das prägt eben.Wink
Johko
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Grummel brummel und waaaas stimmt nun wieder nicht? :P
Nochmal anschaulich:
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal, es muß wegen des Senkrechtstehens der Richtungsvektoren auf dem Normalvektor doch gelten:

und


Was kannst du nun passend für die a´s und b´s wählen, damit das wie vorhin für den Startvektor



hinhaut?
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Achso das -4 hat mich jetz umgehaun hmpf ok danke für die Geduld :P
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte,bitte - keine Ursache.....
Wennze wieder mal was hast, trau dich nur...
*schweißvonderschtirnwisch*
*tapferlächel*
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

So jetz solltes stimmen

*hoff*

nochne Frage kann ich jetz einfach schreiben als zweite Gleichung?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Jaahaaa für beide!! :] Augenzwinkern :]

wäre auch gegangen... Wink
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

So hab mir jetz auch Mythos's Methode angeeignet 8) Danke ebenfalls.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja - statt der 1 hättest du auch jeweils jede andere Z ahl nehmen können. 8)
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Also das ist ziemlicher Unsinn. Gerade DAS muss eintreten, alle drei Punke MÜSSEN auf der Ebenen liegen.

Ups, vertan, ich wollte sagen: Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer GERADEN liegen. :P
88.IAP_Sergej Auf diesen Beitrag antworten »

Jap is klar :]
Cosinus Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

könnte mir bitte jemand sagen ob mein Ergebnis richtig is??? Hilfe


Ich sollte aus der Koordinatenform :

2e1 - 3e2 + 2e3 = 11


eine Parameterform machen und bin zu




gekommen...


...könnte das stimmen??? verwirrt
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! :]
Cosinus Auf diesen Beitrag antworten »

WOW!!! Wieder ein Schritt näher am Matheschein 8) Gott Wink

THX... smile
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