Beweis durch vollständige Induktion

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Renault Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion
Hab vor kurzem meine Klausur zurück bekommen, jedoch habe ich zwei Aufgaben auch nach längerem Grübeln nicht verstanden, auch nicht dnach dem "Erklären" des Lehrers.

Also, Beweis durch vollständige INduktion:

1.

T(n)=n³+(n+1)³+(n+2)³ für alle n "Element" N durch 9 teilbar

2.
m m-1
Für k,m "Element" N gilt: k( k )= m ( k-1 )

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Bis jetzt habt ihr mich ja nie enttäuscht ^^

MfG
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen, also zur 1:

Mach da doch schon mal alle Schritte, soweit du sie kennst, also für n=1, dann Annahme und schon ma n+1 einsetzen und dann soweit wie möglich vereinfachen.

Davon ist schon 'ne Menge durch 9 teilbar. Meld dich danach mal wieder.

MfG
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

n=1

T(n)= 1+8+27 <-- Behauptung bestätigt, da durch 9 teilbar!

n+1

(n+1)³+(n+2)³+(n+3)³
=n³+3n²+3n+1+n³+6n²+6n+8+n³+3n²+6n²+27n+27
=3n³+18n²+36n+36

Und nun?
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

=n³+3n²+3n+1+n³+6n²+12n+8+n³+3n²+6n²+27n+27

=3n³+18n²+42n+36
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

du darfst nicht alles ausklammern - du willst doch noch deine Induktionsvorraussetzung einsetzen können... versuch irgendwie wieder auf den Anfang zu kommen...

das läuft dann so ab, dass du weißt, dass der Anfang durch 9 teilbar ist und der Rest der noch als Summand da steht auch durch 9 teilbar ist...

( mit Anfang mein ich den Term für das normale n )
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht so ganz?!?
Das ist ja keine "normale" vollständige Induktion, daher tue ich mir das was schwer.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde T(n+1) - T(n) berechnen und prüfen, ob das durch 9 teilbar ist.
thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Die vollständige Induktion hier ist an und für sich schon "normal".

Der Punkt ist, dass du zeigen musst, dass unter der Annahme, dass T(n) durch 9 teilbar ist, auch T(n+1) durch 9 geteilt werden kann. Es kommt also darauf an, dass du in deinem Ausdruck für T(n+1) irgendwie T(n) "aufspürst". Für T(n) nimmst du ja an, ... und für den Rest sieht man auch sehr schnell, ...
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Vorraussetzung, dass T(n) durch 9 teilbar ist und alle Mengen danach auch, kann ich also sagen:

T(n+1)-T(n) <-- der Rest muss also auch durch 9 teilbar sein.

Reicht dies als Beweis aus?


Und wie sieht es mit der zweiten aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meinst du das richtige. Ich bin etwas vorsichtig, weil hier geht es nicht um Mengen, sondern um die Teilbarkeit von Termen, die mit T(n) bzw. T(n+1) beschrieben werden. Die Idee beim Induktionsschritt ist die:
T(n) durch 9 teilbar sei bewiesen.
Bilde die Differenz T(n+1) - T(n). Das ist ein Term, den du bestimmen mußt. Dieser Term muß noch auf Teilbarkeit durch 9 geprüft werden. Dann ist auch T(n+1) durch 9 teilbar.

zu 2: Was ist k (k) ?
thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst Du mit "und alle Mengen danach auch"?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
AD Auf diesen Beitrag antworten »

2. soll vermutlich heißen:

Zitat:
Für gilt:
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, thx.
Genau das soll es heißen ^^

Wie geht die?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn den Binomialkoeffizienten definiert? Also wenn es gemäß



geschehen ist, dann brauchst du hier gar keine Induktion, sondern musst nur einsetzen.
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung.
Solch eine Aufgabe haben wir nie gemacht.
Könnte mir jemand daher jemand irgendwie erklären wie die geht, wenn es geht ausführlich.

Danke schon mal im voraus!!!
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir doch mal das was gefragt ist.

Setzten wir also mal ein:















Das war jetzt der erste Schritt.
Zeigen das die Formel für ein erstes N gilt.
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste hab ich verstanden und auch bewiesen!
Ich meinte mit meinem oberen Posting die zweite Aufgabe.
Sorry wenn ich mich mißverständlich geäußert habe.

Bis heut abend muss ich sie können unglücklich
Hoffe ihr schafft es bis dahin.

MfG
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

habt ihr denn den binomialkoeffizienten so definiert, oder nicht?
mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Renault

Da kann ich 20_Cent nur zustimmen: Du musst schon kooperieren - wir können nicht wissen, was du im Unterricht gehabt hast und was nicht!
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Mh sorry.
Denke schon, das Prob ist, dass ich was länger nicht da war.
Binominalkoeffizienten hört sich bekannt an, habs im Unterricht selber aber nie gemacht, also ich nicht, die Klasse schon unglücklich
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen verstehe ich die ganze Aufgabe nicht. Von hinten bis vorne nicht.
Ich weiß nur, dass es so in der Arbeit stand und ich kein Peil davon hatte Hilfe
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent



entweder du fragst erstmal leute aus deiner klasse oder guckst ins buch, oder du benutzt diese definition...

dann kannst du einfach statt dem binomialkoeffizient das hinschreiben und umformen.
mfG 20
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist also so zu verstehen : (?)




Zeige:



=>




Habs geändert
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ja, fast, du hasts ein "!" vergessen, im zähler des letzten bruches....
jetzt versuch mal zu zeigen, dass das das gleiche ist.
mfG 20
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Lösung hin schreibe bekomme ich wieder Schläge.
LOL Hammer
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

bist du hier schonmal geschlagen worden?
keine angst, ich tu dir nichts Augenzwinkern
mfG 20

edit: die lösung ist nicht schwer, nur mut!
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal abwarten was Renault so schreibt.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

oh, hab garnicht bemerkt, dass du nicht der threadsteller bist Augenzwinkern

ok, abwarten.
mfG 20
Renault Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt kommts so langsam wieder ^^

Komme soweit mit.
Wie bekomme ich das (m-1)! weg?
Also beim letzten Bruch oben.
Gilt es da was zu beachten, besondere Regeln?
Unterm Bruch kommt ja schon mal (m-k)! raus, wobei auch hier das (k-1)! stört
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe es noch etwas anders:




=

20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

da ist dir ein zu viel reingerutscht im letzten term.

@renault: überlege dir, was die fakultät eigentlich heißt, was ist z.B.:



oder allgemein:



mfg 20
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Habs geändert
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