Beweis durch vollständige Induktion

18.04.2004, 09:22	Woulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion Einen wunderschönern guten Morgen zusammen, wie beweise ich folgende Aufgaben durch vollständige Induktion. (Bitte Schritt für Schritt, damit ich folgen kann) 1.) $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1} \end{align}$ 2.) $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~ \frac{1}{k^2} \leq 2 \end{align}$ Für beide gilt: $\begin{align} n\in \calN \end{align}$
18.04.2004, 10:23	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Für $\begin{align} n = 1 \end{align}$ ist die Aussage wahr. Gilt die Aussage für ein beliebiges $\begin{align} n \end{align}$ , so gilt sie auch für $\begin{align} n+1 \end{align}$ : $\begin{align} \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{1} {{k\left( {k + 1} \right)}} = } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1} {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 1 + 1} \right)}}} = \limits^{(IV)} \frac{n} {{n + 1}} + \frac{1} {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \end{align}$ $\begin{align} = \frac{{n\left( {n + 2} \right)}} {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \frac{1} {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)^2 }} {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{n + 1}} {{n + 2}} \end{align}$ . Diese Aussage ist wahr und damit gilt diese Aussage für alle $\begin{align} n \in \mathbb{N} \end{align}$ . (Ich habe das übliche Induktions-Blabla weggelassen, das kannst du ja selbst ergänzen. Die Rechenschritte sollten stimmen)
18.04.2004, 11:06	movarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich wüsste nicht, wie man die 2. Aufgabe ohne eine Abschätzung lösen kann. Ich würde deshalb die Summe wie folgt umschreiben:
18.04.2004, 11:09	movarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, Mist, ich habe doch nur Enter gedrückt, warum wurde denn der Beitrag abgeschickt? Naja, ich würde die Summe also wie folgt auseinanderziehen: $\begin{align} \sum\limits_{k=1}^n 1/k^2=1+\sum\limits_{k=2}^n 1/k^2 \end{align}$ und jetzt die Abschätzung 1/k^2<=1/(k*(k-1)) verwenden. Dann sollte sich mit dem Ergebnis der 1. Aufgabe diese Ungleichung ergeben. Gruß Philipp
18.04.2004, 11:15	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Movarian, anscheinend bist du mit dem Fokus aus dem Formular gekommen? Drum wurde dann wohl der Beitrag abgeschickt. Gruß, Thomas PS: Wenn du dich registrierst, kannst du deine Beiträge editieren
18.04.2004, 11:50	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, mir scheint, als könne ich mich den "dezenten" Hinweisen, mich doch endlich zu registrieren, nicht mehr widerstehen. War ja gar nicht so aufwendig.
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18.04.2004, 13:33	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geschehen noch Zeichen und Wunder...

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