Minimalfläche bestimmen

06.12.2005, 12:01

Tim G. Freitag

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Minimalfläche bestimmen

Hallo!

ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_t(x)=-x^2+tx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D(t) = ]0; 3[ \end{eqnarray*}$

Nun, jetzt ist die Frage, wie groß $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein muss, damit die Fläche auf $\begin{eqnarray*} D(t) \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Ich bildete die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \int_0^3{-x^2+tx\;dx} = \left[t\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{9}{2}t - 9 - 0 = \frac{9}{2}t - 9 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt weiter? Einfach die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \frac{9}{2}t - 9 \end{eqnarray*}$ suchen (also $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ ?)

Mir ist der Extremwert einer Fläche noch nicht bewusst geworden.

Vielen Dank,
Tim G. Freitag

06.12.2005, 12:05

klarsoweit

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RE: Minimalfläche bestimmen
Du liegst etwas falsch.
Du hast jetzt eine Fläche, die irgendwie von t abhängt. Davon suchst du das Minimum. Was ist zu tun?

06.12.2005, 12:07

Tim G. Freitag

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Korrektur

Zitat:

[...] damit die Fläche auf $\begin{eqnarray*} D(t) \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Natürlich nicht auf $\begin{eqnarray*} ]0;3[ \end{eqnarray*}$ , sondern auf $\begin{eqnarray*} \left[0;3\right] \end{eqnarray*}$ , also von $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$

06.12.2005, 12:08

20_Cent

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wenn du eine funktion gegeben hast, die die fläche in abhängikeit von t darstellt, dann kannst du diese genau so minimieren, wie andere funktionen auch.
mfG 20

06.12.2005, 12:08

Tim G. Freitag

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RE: Minimalfläche bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit
Du liegst etwas falsch.
Du hast jetzt eine Fläche, die irgendwie von t abhängt. Davon suchst du das Minimum. Was ist zu tun?

Ableitung?

06.12.2005, 12:09

20_Cent

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ja.
mfG 20

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06.12.2005, 12:20

Tim G. Freitag

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Zitat:

ja.

Ah, danke, das hatte ich zwar auch schon gedacht, aber dank eurer schnellen Hilfe bin ich jetzt sicher.

Also wird $\begin{eqnarray*} \int_0^3{-x^2+tx\;dx} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t=\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ minimal?

06.12.2005, 12:28

20_Cent

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was ist eigentlich mit der Fläche AUF D(t) gemeint?
die fläche , die vom graphen und der x-achse eingeschlossen wird?
mfG 20

06.12.2005, 12:56

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von 20_Cent
was ist eigentlich mit der Fläche AUF D(t) gemeint?
die fläche , die vom graphen und der x-achse eingeschlossen wird?

Ja, genau, die Fläche zwischen dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ und der x-Achse zwischen $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$ .

06.12.2005, 12:57

klarsoweit

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Ach jetzt merke ich, daß da noch ein Pferdefuß ist. Wenn es definitiv um die Fläche geht, muß man bei -x² + tx von Nullstelle bis Nuzllstelle integrieren und dann die Beträge nehmen.
Im übrigen ist die Ableitung von F(t) = (9/2)t - (9/2) dies: F'(t) = 9/2
Und diese Funktion hat keine Nullstellen.

06.12.2005, 12:57

20_Cent

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dann musst du zwei integrale bilden, nämlich von 0 bis zur nullstelle des graphen und dann von der nullstelle bis 3, die flächen könnten schließlich unterschiedliche vorzeichen haben.
mfG 20

edit: gut, dass ich nachgefragt habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2005, 13:00

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von 20_Cent
edit: gut, dass ich nachgefragt habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der Tat. Danke smile

smile

mir kam das ganze auch schon komisch vor. Ich werde es jetzt nochmal versuchen...

06.12.2005, 14:21

Tim G. Freitag

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Wenn jemand anders auch noch mal nachgerechnet hat, bitte ich mir entweder das Ergebnis zu bestätigen oder mich auf Fehler hinzuweisen...

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \{t; 0\} \end{eqnarray*}$ .
Also muss ich, um die Fläche zu erhalten, jeweils die Beträge der Abschnitte addieren: $\begin{eqnarray*} \left|\int_0^t f_t(x)\;dx\right| + \left|\int_t^3f_t(x)\;dx\right|= [\cdots] = \frac{2t^2-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} D(t) \end{eqnarray*}$ beachten!)
Hiervon bilde ich die Ableitung ... $\begin{eqnarray*} (\frac{2t^2-27t+56}{6})^{'} = t^2-\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ und suche die Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} t^2 = \frac{9}{2} \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\sqrt{2} \in D(t) \vee t = -\frac{3}{2}\sqrt{2} \notin D(t) \end{eqnarray*}$

Also ist bei $\begin{eqnarray*} t = \frac{3}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt minimal.

06.12.2005, 14:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tim G. Freitag
Also muss ich, um die Fläche zu erhalten, jeweils die Beträge der Abschnitte addieren: $\begin{eqnarray*} \left|\int_0^t f_t(x)\;dx\right| + \left|\int_t^3f_t(x)\;dx\right|= [\cdots] = \frac{2t^2-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre interessant, was die Zwischenschritte ... sind. Ich habe nämlich was anderes raus.

06.12.2005, 14:38

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt wäre interessant, was die Zwischenschritte ... sind. Ich habe nämlich was anderes raus.

ok, aber Stammfunktion und so steht ja schon weiter oben: $\begin{eqnarray*} \left|\int_0^t f_t(x)\;dx\right| + \left|\int_t^3f_t(x)\;dx\right|=\left|\frac{t^3}{6}\right| + \left|-\frac{t^3}{6}+\frac{9t}{2}-9\right| = \frac{t^3}{6} + \frac{t^2-27t+56}{6} = \frac{2t^2-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$
Wie gesagt, ich habe immer den eingeschränkten Definitionsbereich von t beachtet.

06.12.2005, 14:45

klarsoweit

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Wenn ich es richtig verstehe, soll gelten:
$\begin{eqnarray*} \left|-\frac{t^3}{6}+\frac{9t}{2}-9\right| = \frac{t^2-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$
Das verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

Laß doch einfach die Betragsstriche weg und drehe die Vorzeichen der Summanden um.

06.12.2005, 14:49

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich es richtig verstehe, soll gelten:
$\begin{eqnarray*} \left|-\frac{t^3}{6}+\frac{9t}{2}-9\right| = \frac{t^2-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$
Das verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

Laß doch einfach die Betragsstriche weg und drehe die Vorzeichen der Summanden um.

Ja, habe ich doch. Und dann noch einen Hauptnenner gefunden.

Sorry, ich habe nur einen Exponenten vertauscht.

$\begin{eqnarray*} \left|-\frac{t^3}{6}+\frac{9t}{2}-9\right| = \frac{t^3-27t+56}{6} \end{eqnarray*}$

Stimmt doch, oder? Wie bist du auf dein Ergebnis gekommen?

06.12.2005, 14:54

klarsoweit

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Wie kommst du auf die 56? verwirrt

verwirrt

06.12.2005, 15:00

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wie kommst du auf die 56? verwirrt

verwirrt

Mal wieder ein Tippfehler:
$\begin{eqnarray*} \left|-\frac{t^3}{6}+\frac{9t}{2}-9\right| = \frac{t^3-27t+54}{6} \end{eqnarray*}$
so müsste es jetzt aber wirklich mal richtig sein

06.12.2005, 15:03

klarsoweit

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OK. Und jetzt kommt noch das t³/6 vom 1. Summanden dazu.

06.12.2005, 15:08

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von klarsoweit
OK. Und jetzt kommt noch das t³/6 vom 1. Summanden dazu.

Genau. Und dann müsste meine Lösung doch stimmen, oder?

06.12.2005, 15:16

klarsoweit

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Welche Lösung? Nach dem hin und her, solltest du sie nochmal (richtig) hinschreiben. Außerdem brauchst du noch das Minimum.

06.12.2005, 15:26

Tim G. Freitag

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Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \{t; 0\} \end{eqnarray*}$ .
Also muss ich, um die Fläche zu erhalten, jeweils die Beträge der Abschnitte addieren: $\begin{eqnarray*} \left|\int_0^t f_t(x)\;dx\right| + \left|\int_t^3f_t(x)\;dx\right|= [\cdots] = \frac{2t^2-27t+54}{6} \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} D(t) \end{eqnarray*}$ beachten, die Folgerung der Zwischenschritte wurde ja bereits geklärt)
Hiervon bilde ich die Ableitung ... $\begin{eqnarray*} (\frac{2t^2-27t+54}{6})^{'} = t^2-\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ und suche die Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} t^2 = \frac{9}{2} \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\sqrt{2} \in D(t) \vee t = -\frac{3}{2}\sqrt{2} \notin D(t) \end{eqnarray*}$

Also ist bei $\begin{eqnarray*} t = \frac{3}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt minimal.

06.12.2005, 15:33

klarsoweit

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OK. Im Zähler müsste es 2t³ heißen. Die Lösung stimmt. Minimum noch mit 2. Ableitung bestätigen.

06.12.2005, 15:37

Tim G. Freitag

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Zitat:

Original von klarsoweit
OK. Im Zähler müsste es 2t³ heißen. Die Lösung stimmt. Minimum noch mit 2. Ableitung bestätigen.

Ja, klar, der Fehlerteufel will nicht rausgehen .. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die 2. Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f_t^''(x) = 2t \end{eqnarray*}$ und ist bei dem gefunden Minimum nicht Null. Also hinreichende Bedingung erfüllt. Endlich Lösung gefunden!

Danke,
Tim G. Freitag

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