e-Funktion -> Gemeinsamer Schnittpunkt

18.04.2004, 11:17

Juni

e-Funktion -> Gemeinsamer Schnittpunkt

$\begin{align*} f(x)=\frac{36*e^x}{(1+e^x)^2} \end{align*}$ und g(x)=e^x

Wie berechne ich davon den gemeinsamen Schnittpunkt? Ich hab echt keinen Plan. Kann mir da vielleicht jemand bei helfen? Das wäre sehr lieb. Schreibe nämlich übernächste Woche meine Abi-Klausur.

18.04.2004, 11:38

Dany

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RE: e-Funktion -> Gemeinsamer Schnittpunkt
Vielleicht hilft dir das ja schon mal weiter:

Bedingung Schnittpunkt
$\begin{align*} f(x)=g(x) \end{align*}$

Bedingung Berührpunkt
1. $\begin{align*} f(x)=g(x) \end{align*}$
2. $\begin{align*} f'(x)=g'(x) \end{align*}$

Lieben Gruß,
Dany

18.04.2004, 12:10

Philipp-ER

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Hi.
Ich nehme an, dass dir das Lösen der nach dem Gleichsetzen auftretenden Gleichung Probleme macht?
Multipliziere erstmal beide Seiten mit dem Nenner, multipliziere dann aus und substituiere anschließend, wie man es eigentlich immer bei Gleichungen, die mehrere Ausdrücke der Form exp(x) enthalten, macht, u=exp(x). Du erhältst eine Gleichung 3. Grades, die du jedoch durch Ausklammern von u auf eine Gleichung 2. Grades reduzieren kannst, welche du mit der Lösungsformeln lösen kannst.
Vergiss' am Ende die Rücksubstitution nicht, um für die erhaltenen u Werte die entsprechenden x-Werte zu erhalten (wenn es denn im Reellen überhaupt welche gibt).
Schaffst du es mit dieser Anleitung? Wenn nicht, dann poste doch bitte mal deine Rechenschritte, so dass man dir dann auf Basis deiner Versuche helfen kann.
Gruß
Philipp

PS: Ich hoffe mal, dass es sich bei "gemeinsamen Schnittpunkten" nicht um eine besondere, mir unbekannte Art der Schnittpunkte handelt.

18.04.2004, 13:46

Juni

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Ja, das ich sie gleichsetzen muss, ist mir schon klar. Augenzwinkern

Danke @Philipp-ER .. ich werde es mal so probieren. Wir haben nie mit substitution bei e-funktionen gearbeitet, also wusste ich vorher nicht, dass das überhaupt funktioniert. Vielen Dank! Wenn's dabei Probleme gibt, werde ich mich noch mal melden.

18.04.2004, 14:06

Deakandy

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Zitat:

Original von Juni
$\begin{align*} f(x)=\frac{36*e^x}{(1+e^x)^2} \end{align*}$ und g(x)=e^x

Wie berechne ich davon den gemeinsamen Schnittpunkt? Ich hab echt keinen Plan. Kann mir da vielleicht jemand bei helfen? Das wäre sehr lieb. Schreibe nämlich übernächste Woche meine Abi-Klausur.

Also
$\begin{align*} \frac {36\cdot e^x} {(1+e^x)^2}=e^x \ \ |\cdot (1+e^x)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} 36e^x=e^x\cdot (1+e^x)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} 36e^x=e^x\cdot [1+2\cdot e^x+(e^x)^2] \end{align*}$
$\begin{align*} 36e^x=e^x+2\cdot (e^x)^2+(e^x)^3 \end{align*}$
$\begin{align*} (e^x)^3+2(e^x)^2-35e^x=0 \end{align*}$
Substitution mit $\begin{align*} e^x=z \end{align*}$
$\begin{align*} z^3+2z^2-35z=0 \end{align*}$
ergibt per faktorisieren
$\begin{align*} z\cdot (z^2+2z-35)=0 \end{align*}$
$\begin{align*} z\cdot (z+7)\cdot (z-5)=0 \end{align*}$
$\begin{align*} z_1=0 \ \ z_2=-7 \ \ z_3=5 \end{align*}$
Resubstitution ergibt
$\begin{align*} \underbrace{e^x=0}_{entf.} \ \ \underbrace{e^x=-7}_{entf.} \ \ \underbrace{e^x=5}_{\Rightarrow x=ln(5)} \end{align*}$

18.04.2004, 14:39

Philipp-ER

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Musste das wirklich sein?

18.04.2004, 17:05

Juni

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och, ich hab's auch schon alleine geschafft, aber danke für die Mühe. Augenzwinkern

18.04.2004, 17:24

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Musste das wirklich sein?

Deakandy hat diese Aufgabe danach noch zu den Referenzaufgaben hinzugefügt.

Gruß vom Ben

18.04.2004, 22:36

Deakandy

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Wofür die ganze Aufregung.
Ich habe sie nur in aller Ausführlichkeit gelöst, weil ich sie in die Aufgabensammlung nehmen wollte, um ein Beispiel der Substitution zu haben...
Diese Frage mit der Substitution wird so oft gestellt...Andy

19.04.2004, 00:20

Ben Sisko

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Das wollte ich damit sagen.

19.04.2004, 14:38

Mathespezialschüler

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Hi,
ich hab mal ne Frage. Ich bin 10. Klasse, hatte also noch keine Gleichungen höheren Grades und somit auch keine Gleichung dritten Grades. Aber wenn ich mir das so angucke, habe ich ne Frage:
Bei folgender Gleichung hast du ausgeklammert.

$\begin{align*} z\cdot (z^2 + 2z - 35)= 0 \end{align*}$

Könnte man jetzt nicht rein theoretisch die ganze Gleichung mit einer Äquivalenzumformung "/geteilt durch z" umstellen?:

$\begin{align*} z\cdot (z^2 + 2z - 35)= 0\ /:z \end{align*}$

$\begin{align*} (z^2 + 2z - 35)= \frac{0}{z} \end{align*}$

$\begin{align*} (z^2 + 2z - 35)= 0 \end{align*}$

Jetzt hätte man aber keine dritte Lösung $\begin{align*} z = 0 \end{align*}$ mehr, die Gleichung wäre also nicht mehr vollständig zu lösen.
Könnt ihr mir das also bitte erklären?! Danke.
Und dann würde ich jemanden bitten, mir zu sagen, wie man bei den drei Lösungen von z diesen Index der 1., 2., 3. Lösung mit dem Formeleditor oder überhaupt außerhalb von Windows darstellt. Also, dass da steht: z1, z2 bzw. z3 , nur halt die Zahlen tiefgestellt. Danke!!!

19.04.2004, 14:54

Deakandy

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Wenn du durch z teilst, dann ist es meiner Meinung nach keine Äquivalenzumformung mehr, da du die Defintionsmenge änderst...
Du müsstest dann hinzufügen für $\begin{align*} z\neq 0 \end{align*}$
Aber das ist halt nicht der Sinn...

19.04.2004, 16:28

BraiNFrosT

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Das ist doch genau das was gemacht wird.
Ist Z = 0 darf ich NICHT teilen, da liegt also eine Nullstelle.
Ist Z != 0 kann ich teilen und mit dem Rest der Gleichung
die weiteren Nullstellen herausfinden.

19.04.2004, 17:10

Poff

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Dieses 'z' vor der Klammer ist übrigens überflüssig bei DIESER
Aufgabe. Da hat Deakandy etwas geschlampt, das hätte NIE
auftauchen brauchen. Augenzwinkern

19.04.2004, 17:16

Leopold

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Tiefstellung
Tiefstellung im Formel-Editor mit dem Unterstrich.
Beispiel "x tief 2": x_2

24.04.2004, 19:32

Mathespezialschüler

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RE: Tiefstellung
Wenn ich jetzt richtig verstanden habe, dann darf man nicht teilen, weil man für z 0 einsetzen kann und man somit durch 0 teilen würde, was nicht geht.
Danke euch also für die Aufklärung!!!

25.04.2004, 13:46

Lampenfieber

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sein oder nicht sein dass ist die Frage des z
Also; ich ahb da nochmal ne Frage von dem Z Problem.

es müsste doch eigentlich sein, dass

$\begin{align*} z* (z^2+ 2z- 35)=0<br /> <br /> z_1 =0 z_2 = z^2 + 2z -35 =0 \end{align*}$

und dann einfach weiter mit pq oder???

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