Warum ist df eine Linearform?

06.12.2005, 14:03	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist df eine Linearform? moin,moin! Sei f:IR^n-->IR^N , Mit den partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} D_i \end{eqnarray}$ ist ja das totale Differential $\begin{eqnarray} df = D_1dx_1+...+ D_ndx_n \end{eqnarray}$ ...wenn man es gleich 0 (Kern(f) )setzt, hat es ja noch (n-1) Freiheitsgrade, von daher kann ich es als Linearform erkennen. Was mich verwirrt, ist dass ich aus LA1 in Errinnerung habe dass Linearformen Abbildungen von Vektoren auf Körperelemente (Skalare!) sind. Ist df eine Linearform, weil im IR^(nxN) die Körperelemente eben Funktionen sind? (also egal in wieviel Dimensionen sie Variable hat?). Dank & Gruß, phi.
06.12.2005, 22:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für festes $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} D_1, \ldots, D_n \end{eqnarray}$ reelle Zahlen, also Skalare. Denke dir die $\begin{eqnarray} \mathrm{d}x_1, \mathrm{d}x_2, \ldots, \mathrm{d}x_n \end{eqnarray}$ wie reelle Variable $\begin{eqnarray} h_1, h_2, \ldots, h_n \end{eqnarray}$ . Dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray} (h_1,h_2,\ldots,h_n) \mapsto D_1 h_1 + D_2 h_2 + \ldots +D_n h_n \end{eqnarray}$ eine Linearform.
06.12.2005, 22:29	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe, und wenn man die h´s andererseits als Spaltenvektoren mit N Zeilen auffasst, bilden diese die kanonischen Basisvektoren des zu IR^n dualen V-Raums IR^n*...
06.12.2005, 22:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oft bei solchen Fragestellungen ist die Analysis nicht sehr präzise. Ist jetzt $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te Koordinate von $\begin{eqnarray} (h_1,h_2,\ldots,h_n)^t \end{eqnarray}$ oder steht $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ für die kanonische Koordinatenform, also die Abbildung $\begin{eqnarray} h_i: \ \ (h_1,h_2,\ldots,h_n)^t \mapsto h_i \end{eqnarray}$ Einmal so, einmal so, wie man es gerade braucht. Die Analysis verläßt sich halt darauf, daß der Fachmann aus dem Zusammenhang das Richtige erkennt. Und der Laie, dem kann es egal sein, weil der Kalkül so gemacht ist, daß am Schluß das Richtige herauskommt, auch wenn man unterwegs nicht so richtig weiß, was man da eigentlich tut. Typisches Beispiel: Der Substitutionskalkül bei Integralen. Man muß nicht wissen, was man da tut. Wenn man es nur nach den Vorschriften tut. Dann kommt am Schluß auch der richtige Wert heraus.
07.12.2005, 12:15	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, eigentlich müsste man beim Substituieren ja jedes mal genau prüfen ob das neue Intervall (Beta(b),Alpha(a)) definiert ist, (manchmal muss man es tatsächlich) aber wenn man zum Schluß wieder 1 zu 1 rücksubstituiert (wobei man widerum stillschweigend von Bijektivität ausgeht...) , klappts. mfg, phi

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