Quotientenvektorräume

01.05.2008, 12:08

Bea

Quotientenvektorräume

Hallo ihr. ich bin grad echt am verzweifeln... hoffe ihr könnt mir helfen.

bei der abbildung R --> R/U ist da der kern immer U?
und wie genau soll diese abbildungsmatrix aussehen. wir haben zb die abbildung R^4 ---> R^4/U, U =< (1,2,-1,1)^t, (1,1,1,-1)^t> . die basis von R^4/U ist e1+U, e3+U. wir sollen da jetzt die matrix der kanonischen abbildung bestimmen.
bloß was wird da jetzt genau auf was abgebildet.

bei einer anderen aufgabe haben wir eine 2x3 matrix gegeben. abbildung R³-->R²
ker der abbildung ist U und das bild ist R²
jetzt soll die matrix der induzierten lin. abb. R³/U-->R² berechnet werden. wie bekommt man das +U bei dieser abbildung dann weg. was heißt überhaupt genau induziert. ich versteh da den zusammenhang zwischen den abbildungen nicht.

danke schonma

01.05.2008, 14:05

WebFritzi

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RE: Quotientenvektorräume

Zitat:

Original von Bea
bei der abbildung R --> R/U

So, wie das da steht, ist es Unfug.

Zitat:

Original von Bea
was heißt überhaupt genau induziert.

Wenn du eine Frage stellst, gehört da auch ein Fragezeichen hin. Nun zum "induziert". Sei $\begin{eqnarray*} A : V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Sei U = ker(A). Dann ist die (durch A) induzierte Abbildung von V/U nach W gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \widetilde A : V/U\to W\,,\quad \widetilde A(x + U) = Ax. \end{eqnarray*}$

01.05.2008, 14:29

Bea

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heißt das jetzt nicht das A"schlange" die gleiche abbildungsmatrix besitzt wie A? bzw wo ist jetzt das +U hin? ich versteh das irgendwie alles nicht wirklich.

01.05.2008, 14:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bea
wo ist jetzt das +U hin?

Wo?

01.05.2008, 14:59

Bea

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bei der abbildung A"schlange"(x+U)=Ax. weil wie führt man diese abbildung an einem beispiel aus. angenommen ich hab irgendeinen vektor x. multiplizier ich dann A"schlange"x und lass das U einfach weg? aber dann wäre eben die matrix A"schlange"=A. irgendwie muss man das ja rechnen können und genau da liegt mein problem.

01.05.2008, 15:02

WebFritzi

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Nein, das kannst du nicht rechnen, denn V/U ist ein Vektorraum, in dem die Vektoren Äquivalenzklassen sind. Um deine Aufgabe zu bearbeiten, brauchst du erstmal eine Basis von V/U.

01.05.2008, 15:06

Bea

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In meinem ersten eintrag waren zwei beispiele mit angaben wo ich keine ahnung hab wie ich da auf die gesuchten matrizen komme.

01.05.2008, 15:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Um deine Aufgabe zu bearbeiten, brauchst du erstmal eine Basis von V/U.

01.05.2008, 15:24

Bea

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die basis von R^4/U ist e1+U, e3+U

stand oben drin. wie kann man hier zitiern?

01.05.2008, 15:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bea
wie kann man hier zitiern?

Auf den Zitat-Button klicken.

01.05.2008, 16:55

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Bea
bei der abbildung R --> R/U

So, wie das da steht, ist es Unfug.

Unfug ist etwas übertrieben, es fehlt wohl nur der Exponent 4. Dem Zusammenhang entnehme ich, daß damit die kanonische Projektion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gemeint ist, also diejenige lineare Abbildung, die jedem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ seine Äquivalenzklasse zuordnet:

$\begin{eqnarray*} \pi: \ \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 / U \, , \ \ x \mapsto x + U \end{eqnarray*}$

Um die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu berechnen, mußt du die Bilder der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ als Linearkombinationen in der vorgegebenen Basis $\begin{eqnarray*} e_1' = e_1 + U \, , \ \ e_2' = e_3 + U \end{eqnarray*}$ darstellen:

$\begin{eqnarray*} \pi(e_j) = a_{1j} e_1' + a_{2j} e_2' \, , \ \ 1 \leq j \leq 4 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die gesuchte Abbildungsmatrix. Die Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} \pi(e_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(e_3) \end{eqnarray*}$ sind ganz einfach zu ermitteln (Koeffizienten ablesen). Mit $\begin{eqnarray*} \pi(e_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(e_4) \end{eqnarray*}$ ist es schon etwas schwieriger. Für $\begin{eqnarray*} \pi(e_2) \end{eqnarray*}$ führe ich dir die Rechnung einmal vor:

$\begin{eqnarray*} \pi(e_2) = e_2 + U \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} e_2 + U \end{eqnarray*}$ muß nun als Linearkombination in $\begin{eqnarray*} e_1' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2' \end{eqnarray*}$ dargestellt werden. Wir machen mit Skalaren $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ den Ansatz

$\begin{eqnarray*} e_2 + U = \lambda \left( e_1 + U \right) + \mu \left( e_3 + U \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muß man wissen, wie man mit solchen Äquivalenzklassen rechnet:

1. Skalare werden zum Repräsentanten gezogen und von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sozusagen "geschluckt". Es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} \lambda U = U \end{eqnarray*}$ . Anders gesagt: $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektor des Quotientenvektorraumes. Und wenn du dir an der Stelle von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ vorstellst, findest du dieses Verschlucken nicht mehr "merkwürdig".

$\begin{eqnarray*} e_2 + U = \left( \lambda \, e_1 + U \right) + \left( \mu \, e_3 + U \right) \end{eqnarray*}$

2. Die Addition von Äquivalenzklassen wird nur an den Repräsentanten vollzogen, denn es ist $\begin{eqnarray*} U+U = U \end{eqnarray*}$ . Auch hier hilft die Vorstellung, daß der Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ für den Quotientenvektorraum die Rolle des Nullvektors spielt.

$\begin{eqnarray*} e_2 + U = \lambda \, e_1 + \mu \, e_3 + U \end{eqnarray*}$

Das ist nun eine Gleichung zwischen zwei Äquivalenzklassen. Und zwei Äquivalenzklassen sind dann und nur dann gleich, wenn die Differenz ihrer Repräsentanten in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt. Aus der Gleichung bekommen wir also eine $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ -Relation:

$\begin{eqnarray*} \lambda \, e_1 + \mu \, e_3 - e_2 \in U \end{eqnarray*}$

Dieses Element muß daher als Linearkombination der erzeugenden Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,2,-1,1), (1,1,1,-1) \end{eqnarray*}$ dargestellt werden können. Mit zwei Skalaren $\begin{eqnarray*} \sigma, \tau \end{eqnarray*}$ heißt das:

$\begin{eqnarray*} \lambda \, (1,0,0,0) + \mu \, (0,0,1,0) - (0,1,0,0) = \sigma \, (1,2,-1,1) + \tau \, (1,1,1,-1) \end{eqnarray*}$

Wenn du dir das für jede einzelne Koordinate aufschreibst, bekommst du ein lineares Gleichungssystem in vier Gleichungen und vier Unbekannten $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu, \sigma, \tau \end{eqnarray*}$ . Dieses läßt sich durch Auflösen und Einsetzen leicht lösen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lambda = - \frac{2}{3} \, , \ \ \mu = 0 \end{eqnarray*}$

Die Werte für $\begin{eqnarray*} \sigma, \tau \end{eqnarray*}$ interessieren nicht weiter. Als Ergebnis haben wir

$\begin{eqnarray*} \pi(e_2) = - \frac{2}{3} \, e_1' + 0 \, e_2' \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_{12} = - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ . Für die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \cdot & - \frac{2}{3} & \cdot & \cdot \\ \cdot & 0 & \cdot & \cdot \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die restlichen Stellen der Matrix solltest du nun alleine ausfüllen können. Ich habe dir vorgemacht, wie es geht. Jetzt nachmachen!

01.05.2008, 17:15

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Bea
bei der abbildung R --> R/U

So, wie das da steht, ist es Unfug.

Unfug ist etwas übertrieben, es fehlt wohl nur der Exponent 4.

Naja, es sollte schon dastehen, um welche Abbildung es sich handelt. Sonst macht das "die" keinen Sinn. Deswegen ist es mathematisch gesehen schlicht Unfug. Aber das weißt du doch selber...

01.05.2008, 17:27

Leopold

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Ich vermute, daß es in der Originalaufgabe von Bea heißt

... für die kanonische Projektion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 / U \end{eqnarray*}$ ...

oder ähnlich. Dann ist das eine übliche Ausdrucksweise, die Funktion bekommt halt keinen eigenen Bezeichner zugewiesen. Ich gebe dir natürlich recht, daß Bea das hätte vollständig zitieren müssen. Aber sie hat ja gerade nicht verstanden, worum es geht, also war ihr auch nicht bewußt, daß das hier wichtig ist. Wir wollen ihr das nachsehen ...

01.05.2008, 17:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Ich gebe dir natürlich recht, daß Bea das hätte vollständig zitieren müssen. Aber sie hat ja gerade nicht verstanden, worum es geht, also war ihr auch nicht bewußt, daß das hier wichtig ist. Wir wollen ihr das nachsehen ...

Ne, tu ich nicht. Augenzwinkern

Egal, ob sie versteht, worum es geht. Sowas wie "die Abbildung X -> Y" ist prinzipiell falsch. So. Teufel

01.05.2008, 20:20

Bea

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@ leopold: danke hast mir echt geholfen, aber könntest du mir vll noch erklären warum genau man das so macht? also die vorgehensweiße kommt mir bekannt vor von der koordinatentransformation bloß da haben wir immer vom R³ in den R³ abgebildet wegen basiswechsel. diesmal sinds bloß zwei verschiedene räume deswegen versteh ich nicht warum das da dann genauso geht. und warum ist ker(pi) nicht U? muss das nicht immer so sein?
wenn man eine abbildung phi: V --> X (X c V, K-Vektorraum) hat, induziert das ja eine abbildung phi"quer": V/U --> X. wir haben dann gesagt das ker(phi"quer")= ker(phi)/U. Daraus hab ich dann eben gefolgert das U c ker(phi). Meine frage ist jetzt ob U c ker(phi) sein muss damit so ein phi"quer" indzuiert wird und wenn ja warum?

02.05.2008, 07:05

Leopold

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Zitat:

Original von Bea
also die vorgehensweiße kommt mir bekannt vor von der koordinatentransformation bloß da haben wir immer vom R³ in den R³ abgebildet wegen basiswechsel. diesmal sinds bloß zwei verschiedene räume deswegen versteh ich nicht warum das da dann genauso geht.

Eben weil es derselbe Vorgang ist, geht es genau so.

Zitat:

Original von Bea
und warum ist ker(pi) nicht U? muss das nicht immer so sein?

Der Kern von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Niemand hat je etwas anderes behauptet.

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ fungiert ja im Quotientenraum als Nullvektor. Um den Kern zu bestimmen, ist also die Gleichung $\begin{eqnarray*} \pi(x) = U \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. Nun ist $\begin{eqnarray*} \pi(x) = x + U \end{eqnarray*}$ gemäß Definition. Zu bestimmen sind also alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x + U = U \end{eqnarray*}$ . Und das kann nur für $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ richtig sein.

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