Komplexe Wegintegrale

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holographics Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Wegintegrale
Hi, hab hier 2 Aufgaben, bei denen ich nicht Weiterkomme:
1.) Elipse mit Mittelpunkt 0 und Halbachse a>0,b>0. Sei gamma(t) der Weg, der die Obere Hälfte der erlipse von a nach -a durchläuft. Das Integral ist dann kein Problem. Nur ich bekomm den Weg nicht parametrisiert, weis nur, das x^2+y^2=1 ein kreis ist.
2)
Weg: Weg: alfa=1-e^{it} für t element[0;2pi] und -1+e{-ît} für t element[2pi;4pi]


Im Integral steht ja f(x), und ich müsste f(x) in die form:f(x)=x+iy bringen, um das Integral zu lösen. Aber irgenwie bekomm ich das nicht hin.
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1)
eine Ellipse hat die Gleichung
(x/a)^2+(y/b)^2=1
aber je nach Funktion die du integrieren willst (und Kenntnissen die du verwenden darfst) würde ich verwenden, das das Integral wegunabhängig ist, solange keine Polstellen der Funktion im Weg liegen, damit könnte man zum Beispiel entlang von 2 Geradenstücken integrieren.
zu 2)
die Rechnung wird ein bisschen hässlich aber es klappt
wenn du z quadriest fällt die Eins im Nenner weg,
dann einmal mit e^(-it) den Bruch erweitern, dann hast du im Nenner nur noch eine e-Funktion
die dann als cos(t)+isin(t) schreiben
und dann den klassischen Trick verwenden und mit dem konjugiert komplexen von Nenner erweitern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ holographics

Was hast du denn schon an Vorwissen?
Cauchyscher Integralsatz?
Residuensatz?

Je nachdem ist diese Aufgabe eine Trivialität. Sie kann aber auch ein bißchen rechenaufwendig werden, wenn man all dies nicht verwenden darf.
holographics Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold Also Cauchyscher Integralsatz kenn ich, hab damit nur noch keine Aufgabe gerechnet.
@quarague
zu1) Es steht in der Aufgabe, dass man über diesen Weg integrieren soll
Zu2)z Quadrieren? dann hätte ich ja
oder meinst du ?
und das da quadrieren?

Hab jetz mal im Mathebuch etwas weitergeblätert, und dabei das gefunden:
Wenn: G element der Komplexen zahlen ist,einfach zusammenhängend ist,und F die Stammfuntion von f ist, und der Weg Stückweise glatt ist,der dur z(t),a<=t<=b ist dann gilt :
Wegintegral f(z)dz=F(z(b))-F(z(a)
Könnte ich diesen Satz nicht auch benutzen?
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (2)
Für die Integration brauchst nicht real- und imaginärteil separieren.
Ich würde es für das Integral von 0 bis 2 so machen:



Integral wird dann



Substituieren, fertig.

Der andere Weg ist ähnlich zu machen...

Addieren, fertig !

PS: Diese Vorgangsweise ist in der Physik (Greensche Funktionen) üblich...
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte, wenn z=1-e^it ist, ist z²=1+e^2it-2e^it und damit fallen in dem Term 1-z² die beiden Einsen weg, der Rest ließe sich dann auch relativ gut in Real und Imaginärteil zerlegen, abe mit den letzten Posts ist das gar nicht mehr notwendig
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich wäre den folgenden Weg gegangen:

: positiv orientierter Kreis um 1


: negativ orientierter Kreis um -1


Integrationsweg:

Partialbruchzerlegung:




(Cauchyscher Integralsatz für zweites Integral)

(Cauchyscher Integralsatz für erstes Integral)

Wenn man jetzt den Residuensatz schon kennt oder einem der Begriff der Windungszahl geläufig ist, dann ist der Wert des verbleibenden Integrals in bzw. klar. Ansonsten geht es auch mit den angegebenen Parametrisierungen, etwa bei :





Entsprechend geht es auch in . Dann muß man nur noch alles zusammensetzen.
Milchbub Auf diesen Beitrag antworten »

latex]\gamma_1[/latex]: positiv orientierter Kreis um 1


: negativ orientierter Kreis um -1

müsste das mit den orierung nicht gerade anders herum sein? wenn man in 1-e^it mal für t= 0 einsetzt ist man auf dem punkt (0;0) setzt man t=2pi ein kommt man auf den punkt (2;0) damit. also ein kreis der bei (0;0) anfängt weiter zu (2;0) geht und auf (0;0) endet. also negativ orientiert oder mach ich da ein fehler?


hab die gleiche aufgabe vor mir und sie gerade fertig gerechnet. hab das anders gerechnet(viel umständlicher). das mit dem cauchy integralsatz versteh ich nicht. aber so wie ich das nachvollziehen kann kommt bei der rechnung als gesamtergebnis 0 raus.
bei mir kommt als gesamtergenis -2\pi*i raus. was stimmt?
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit den Orientierungen stimmt:

1) positiv orienterter Kreis um 1
2) negativ orientierter Kreis um -1
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Polstellen sind -1, +1

residdum an Stelle +1:

residdum an Stelle -1:

Wegintegral 1:
Wegintegral 2:

Summe:

ich würde daher Milchbub recht geben !
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bei Leopold kommt doch auch -i2Pi raus, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's.

Und ist positiv orientiert, negativ orientiert. Um das zu sehen, sollte man nicht einsetzen (was wohl Milchbub gemacht hat, obwohl er von spricht - was für ein Durcheinander!). Denn wie will man nach einem Halbkreisdurchlauf die Orientierung erkennen? Man sollte einsetzen.
Milchbub Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie ist mir das mit der orientierung noch nicht so ganz klar. kann mir das nochmal einer schön ausführlich erklärensmile ?
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

bei Pfad 1 läuft dein weg in der komplexen ebene gegen den UZS (positiv).
bei Pfad 2 ist er im UZS (negativ).

Überleg dir für Pfad 1/2 wenn du bei 0/ startest wo der nächste Punkt liegen wird.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Milchbub

Im Anhang habe ich dir eine Animation erstellt, die den Durchlauf durch die beiden Kreise zeigt. Sie funktioniert allerdings nur mit dem Internet Explorer (jedenfalls sollte sie das).

Anhang entpacken und HTML-Seite öffnen. Falls der benötigte DynaGeoX-Viewer nicht automatisch geladen wird, z.B. wegen entsprechender Sicherheitseinstellungen des Browsers, dann kann er bei

http://www.dynageo.de/

heruntergeladen werden. Dort findet man ihn bei Galerie/Technische Voraussetzungen ganz unten auf der Seite.
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