Ungleichung von Tschebyschew

06.12.2005, 19:41	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung von Tschebyschew Hallo Leutz! Da bin ich mal wieder, weil in letzter Zeit war Stochastik nicht so schwer, dass ich Hilfe gebraucht hätte, aber jetzt war ich Do krank und ich versteh gar nichts mehr... Es geht, wie schon die Überschrift sagt, um die Ungleichung von Tschebyschew. Hm, und die versteh ich gar nicht. Jetzt soll ich da 2 Aufgaben dazu rechnen, aber ich weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Die Aufgabe: Ein fairer Würfel wird n-mal unabhängig geworfen. $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ sei die beim i-ten Wurf erzielte Augenzahl. a) Geben sie mit Hilfe der Ungleichung von T. eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das arithmethische Mittel $\begin{eqnarray} X^- \end{eqnarray}$ (also X quer mein ich da) der erzielten Augenzahlen einen Wert aus dem Intevall [3;4] annimmt, wenn n=70 Würfe durchgeführt werden. Wo soll ich denn da anfangen? Ich versteh ja die Ungleichung schon nicht, und den Artikel bei wikipedia versteh ich auch nicht.... Also bitte me.... DANKE
06.12.2005, 22:13	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung von Tschebyscheff lautet ja: $\begin{eqnarray} P(\|x-\mu\|\geq c) \leq \sigma^2 / c^2 \end{eqnarray}$ Jetzt überlege dir was in deinem Fall $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und c. Sigma natürlich auch noch Gruß, aRo
06.12.2005, 23:12	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Gleichung hab ich auch so im Heft stehen... Aber ich weiß nciht so recht, wie ich das anwenden soll... Ich hab jetzt auch ne Stunde rumgerechnet, aber ich komm nicht mal auf den Erwartungswert. Ich weiß schon gar nicht, wie ich auf alle möglichen Augenzahlen komme mit 70-maligem Werfen. Weil das kann ja dann alles sein zwischen 70 und 420. Und das sind 350 Möglichkeiten und ich kann ja nicht für 350 Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Und was mit X quer gemeint ist, weiß ich auch nicht.....
07.12.2005, 11:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Probleme liegen nicht bei Tschebyscheff, sondern schon vorher: Beim Ausrechnen von Erwartungswerten und Varianzen diskreter Zufallsgrößen sowie deren Summen. Bleiben wir mal bei den Summen: Sei $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ ... Augenzahl im $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -ten Wurf Die Summe aller Augenzahlen ist dann $\begin{eqnarray} S_n = X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray}$ mit Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(S_n) = E(X_1)+\cdots+E(X_n) \end{eqnarray}$ . Da alle Würfe die gleiche Verteilung besitzen, speziell wie der erste Wurf, kann man auch gleich $\begin{eqnarray} E(S_n)=n\,E(X_1) \end{eqnarray}$ schreiben. Für die Varianz nutzen wir die Unabhängigkeit der Würfe, dann gilt nämlich $\begin{eqnarray} V(S_n) = V(X_1)+\cdots+V(X_n) = n\,V(X_1) \end{eqnarray}$ So, und jetzt kommen wir zum Mittelwert $\begin{eqnarray} \overline{X_n} = \frac{S_n}{n} \end{eqnarray}$ : Die Rechenregeln für konstante Faktoren innerhalb Erwartungswert und Varianz besagen $\begin{eqnarray} \mu &=& E\left( \overline{X_n} \right) = E\left( \frac{S_n}{n} \right) = \frac{1}{n}\, E(S_n) = E(X_1)\\ \sigma^2 &=& V\left( \overline{X_n} \right) = V\left( \frac{S_n}{n} \right) = \frac{1}{n^2}\, V(S_n) = \frac{1}{n}\, V(X_1) \end{eqnarray}$ Damit haben wir alles auf Erwartungswert und Varianz der Augenzahl eines einzigen Wurfs zurückgeführt, und die musst du jetzt noch berechnen, dann kannst du dich auch dem Tschebyscheff widmen.
07.12.2005, 16:47	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine ausführliche ERklärung. Das bedeutet ja dann, dass der Erwartungswert gleich bleibt und die Varianz mal 1/n genommen werden muss, also gilt dann: $\begin{eqnarray} E(\overline{X})=3,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Var(\overline{X})=\frac{35}{12} \end{eqnarray}$ Dann hab ich für die Ungleichung von Tschebyschew raus: $\begin{eqnarray} P(\|\overline{X}-3,5\|\leq0,5)>1-\frac{\frac{35}{1270}}{(0,5)^2}=5/6=83,3% \end{eqnarray*}$ stimmt das dann?
07.12.2005, 16:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richig.
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07.12.2005, 17:27	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, cool danke! Dann häng ich aber schon an der nächsten Aufgabe: In einem wöchentlich durchgeführten Lotteriespiel werden 1000 Lose verkauft mit 950 Nieten. Bei 40 Losen erhält man 3 DM, bei neun Losen 6 DM und bei einem Los 201 DM. In a und b hat man den Erwartungswert (für die Bankauszahlung) und die Varianz berechnen müssen, das war ja nicht weiter schwer: $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Var(X)=40,94 \end{eqnarray}$ Aber bei der c) Nach wie vielen Spielen unterscheidet man das arithmetische Mittel der wöchentlichen Bankauszahlung pro Los mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% um höchstens 0,50 DM vom Erwartungswert der Auszahlung? $\begin{eqnarray} P(\|\overline{X}-E(\overline{X})\|<0,50)\geq 1-\frac{Var(\overline{X})}{(0,5)^2} \end{eqnarray}$ Aber wo bring ich die 80% in der Angabe unter?

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