Zeige konvergenz der Reihe

06.12.2005, 19:54

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Zeige konvergenz der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(x^{n} )/(1+x^{2n} ) \end{eqnarray*}$

zu zeigen : für welche x ist die Reihe konvergent bzw. divergent

hab das ganze erstmal mit dem Quotientenkriterium umgeformt:

$\begin{eqnarray*} (x^{n+1} *(1+x^{2n})/(1+ x^{2n+1})* x^{n} ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x^{n+1} + x^{3n+1})/( x^{n} +x^{3n+1}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x+x^{2n+1})/(1+ x^{2n+1}) \end{eqnarray*}$

nun sieht man dass für x>= divergent und x<1 konvergent oder nich ????

06.12.2005, 19:55

20_Cent

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danke für die aufgabe, hab ich was zum üben...
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=879
mfG 20

06.12.2005, 20:02

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ähm was soll ich mit deinem link ? Buschmann

Buschmann

06.12.2005, 20:04

20_Cent

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ohne deinen edit stand da nur die Summe, sonst nichts.
mfG 20

06.12.2005, 20:06

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tja

Zunge

naja stimmt es denn Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

06.12.2005, 20:07

20_Cent

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keine ahnung Teufel

Teufel

naja, vielleicht ist ein anderer so freundlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfG 20

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06.12.2005, 20:09

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unglücklich

keine ahnung oder keine lust ?

06.12.2005, 20:11

20_Cent

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sorry, hatten noch keine reihen in der vorlesung... fangen wir donnerstag mit an Augenzwinkern

Augenzwinkern

sonst würde ich dir ja helfen...
mfG 20

06.12.2005, 20:42

thoroh

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RE: Zeige konvergenz der Reihe

Zitat:

Original von _ _ _ _ [email protected]_ _ _ _ _

$\begin{eqnarray*} (x^{n+1} *(1+x^{2n})/(1+ x^{2n+1})* x^{n} ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x^{n+1} + x^{3n+1})/( x^{n} +x^{3n+1}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x+x^{2n+1})/(1+ x^{2n+1}) \end{eqnarray*}$

nun sieht man dass für x>= divergent und x<1 konvergent oder nich ????

In der ersten Zeile sind wohl die Klammern etwas durcheinander geraten. Kontrolliere auch mal den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+x^{2n+1}) \end{eqnarray*}$

Untersuche noch mal die Fälle |x| = 1 und |x| > 1.

06.12.2005, 20:44

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was meinst du damit ich soll den ausdruck (1+x^(2n+1)) kontrollieren ?

und wozu die beträge von x !?

06.12.2005, 21:20

thoroh

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Zitat:

Original von _ _ _ _ [email protected]_ _ _ _ _
was meinst du damit ich soll den ausdruck (1+x^(2n+1)) kontrollieren ?

Im Allgemeinen ist:
$\begin{eqnarray*} 1+x^{2(n+1)} \neq 1+x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von _ _ _ _ [email protected]_ _ _ _ _
und wozu die beträge von x !?

Für das Quotientenkriterium untersucht man den Betrag des Quotienten. Ansonsten probier meinen Vorschlag mal aus.

07.12.2005, 12:07

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mhhh ich komm nicht drauf

07.12.2005, 12:25

AD

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Hilfreiche Abschätzungen sind

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}} \right| \leq \left| \frac{x^n}{1} \right| = |x|^n \end{eqnarray*}$

sowie für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}} \right| \leq \left| \frac{x^n}{x^{2n}} \right| = \left(\frac{1}{|x|}\right)^n \end{eqnarray*}$

Je nachdem, wie groß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, ist mal die eine oder die andere Abschätzung hilfreich. Und dann gibt es noch ein paar Sonderfälle, die man getrennt untersucht...

07.12.2005, 13:03

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sry verstehe grad nichts mehr... unglücklich

unglücklich

muss ich die aufgabe von vorne anfangen oder redet ihr grad nur über meine bestimmung von x also die letzte aussage ??

07.12.2005, 13:09

AD

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Du musst nicht, aber ich weiß nicht, wohin deine Überlegungen führen sollen.

09.12.2005, 17:49

InfoStudent

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Hmm,
also die obere Abschätzung konvergiert für |x| < 1, also für -1 < x < 1
und die untere für für |x| > 1, also für x > 1 und x < -1

Jetzt erst einmal Sonderfälle bei Seite, sagt mir das, dass $\begin{eqnarray*} \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}} \right| \end{eqnarray*}$ divergent ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

09.12.2005, 18:31

thoroh

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Nein, warum?

09.12.2005, 18:35

InfoStudent

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Hmm,
dann verstehe ich nicht, in wie weit die Abschätzungen mir beim bestimmen der x Werte für die Konvergenz hilft...

09.12.2005, 18:52

thoroh

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Für die Konvergenzuntersuchung der gegebenen Reihe kannst du das Majorantenkriterium benutzen. Da helfen dir die Abschätzungen.

09.12.2005, 21:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von InfoStudent
Hmm,
also die obere Abschätzung konvergiert für |x| < 1, also für -1 < x < 1
und die untere für für |x| > 1, also für x > 1 und x < -1

Genau das ist. Für jeweils diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren die Reihen über die Terme auf den rechten Seiten der Abschätzungen. Damit konvergiert für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch deine Reihe nach dem Majorantenkriterium. Da ist mir etwas unverständlich, wie du darauf kommst, dass deine Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

09.12.2005, 21:38

InfoStudent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Genau das ist. Für jeweils diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren die Reihen über die Terme auf den rechten Seiten der Abschätzungen. Damit konvergiert für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch deine Reihe nach dem Majorantenkriterium. Da ist mir etwas unverständlich, wie du darauf kommst, dass deine Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. verwirrt

verwirrt

Hmm,
also für mich geht das Intervall "-1 < x < 1" zusammen mit "x > 1 und x < -1" von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

EDIT: Ok x=-1 und x=1 ausgenommen *lalala* LOL Hammer

LOL Hammer

09.12.2005, 21:50

Mathespezialschüler

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Ja, aber für die konvergiert sie! Und nicht: Für die divergiert die Reihe.
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ musst du getrennt betrachten.

Gruß MSS

10.12.2005, 12:45

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die Reihe ist konvergent für -1<x<1 und -1>x>1 konvergent
für x= 1 divergnet und für x=-1 nicht definiert...

Stimmt das nun so ?

10.12.2005, 14:25

thoroh

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Zitat:

Original von _ _ _ _ [email protected]_ _ _ _ _
die Reihe ist konvergent für -1<x<1

ja

Zitat:

und -1>x>1 konvergent

Wie soll man sich solche x vorstellen, die kleiner als -1 und gleichzeitig größer als +1 sind?

Zitat:

für x= 1 divergnet

ja

Zitat:

und für x=-1 nicht definiert...

Warum denn?

11.12.2005, 15:54

InfoStudent

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Neuer Tag, neues Glück:

Also für
-1 < x < 1 konvergiert die Reihe.
-1 > x > 1 würde die Reihe konvergieren, leider gibt es kein x das diese Bedingung erfüllt.
x = 1 ist die Reihe divergent, denn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist divergent
x = -1 ist eine Reihe die immer zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ allterniert, da bin ich mir jetzt nicht sicher, divergiert oder konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~{(-1)^n * \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ?

EDIT: Okey ich habe nachgeschlagen, eine monoton fallende alternierende Folge konvergiert, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ divergiert sie.

Ist das so richtig?

11.12.2005, 16:36

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also ich hab da jez folgendes stehen:

konvergent für : -1<x<1 und x<-1 und x>1

divergent für: x=1 und x=-1

Im Prinzip heißt das für beliebiges x konvergent außer für x=1 und x=-1

11.12.2005, 21:44

Mathespezialschüler

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Genau so ist es.

@InfoStudent
$\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ wurde von irgendjmd. falschlicherweise hier aufgeworfen. Es sollte so sein, dass man schreibt: Die Reihe konvergiert für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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