Gruppenhomomorphismus |
| 01.05.2008, 15:15 | qwertz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppenhomomorphismus Ich habe bewiesen, dass jeder Gruppenhomomorphismus das neutraler Element seiner Definitionsgruppe auf das neutrale Element seine Wertegruppe abbildet. Nun möchte ich zeigen: Wenn für alle x aus g gilt: phi(x)=e' => x=e dann ist phi injektiv. Wobei e das neutrale Element der Defgruppe und e' das der Wertegruppe ist. Wie mache ich das nun am besten? Irgendwie kriege ich das nicht richtig hin 
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| 01.05.2008, 15:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
phi(x) = phi(y). "Teile" nun durch phi(y). |
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| 01.05.2008, 20:45 | qwertz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann hätte ich da doch vermutlich phi(x)/phi(y) = e' stehen? Ich sehe leider noch immer nicht, wie mich das weiter bringt. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die Voraussetzungen richtig lese. Also wenn phi(x)=e', dann folgt daraus dass x nur gleich e ist, ne? Ist das nicht eigentlich trivial? x=e ist immer eine Lösung, und wenn es nach Voraussetzung die einzige ist, dann ist phi halt injektiv.. |
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| 01.05.2008, 21:03 | Stefan_K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Teilen" meint das Anmultiplizieren des Inversen. Verwende für das entstehende Produkt, dass phi ein Homomorphismus ist. Stefan |
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| 01.05.2008, 21:09 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilen in einer Gruppe ist ein bischen anders: Du hast ein Gruppenelement . Nach Definition von Gruppe gibt es ein Gruppenelement , welches das Inverse zu ist. "Teilen" heisst hier von der richtigen Seite mit dem Inversen zu multiplizieren. |
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| 01.05.2008, 21:09 | qwertz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm...also phi(x)phi^(-1)(y)=e' ich wüsste jetzt aber nicht, wie ich geschickt die homomorphismus bedingung einsetzen kann. sorry, ich verstehe noch nicht, wo es hier lang geht. und wie verwende ich die voraussetzung? die brauch ich ja auch irgendwie..
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| 01.05.2008, 21:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist falsch. Du weißt doch gar nicht, ob die Umkehrfunktion phi^(-1) überhaupt existiert. Vielleicht meinst du allerdings phi(y)^(-1). Dann ist es richtig. Überleg dir nun, dass du den Exponenten reinziehen kannst, also phi(y)^(-1) = phi(y^(-1)). EDIT: Besser wäre es, du würdest LaTeX benutzen. |
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| 01.05.2008, 21:19 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Angenommen du hast zwei Gruppenelemente die Invers zueinander sind, das heisst . Dann gilt das auch für die Bilder unter , das heisst Edit: Zweimal andre schneller.... Ich halte mich jetzt raus 
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| 01.05.2008, 22:09 | qwertz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut, dann hätte ich (hmm..so ganz ist mir dabei auch nicht klar, dass ich ^-1 reinziehen darf. Kann ich jetzt hieraus schon folgern, dass x=y gelten muss? Denn x mal das Inverse von y ist anscheinend e, als muss y^{-1}=x^{-1} sein? |
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| 01.05.2008, 22:55 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, nach Voraussetzung. |
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| 02.05.2008, 09:23 | qwertz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok. habs verstanden. nur noch eins: warum genau kann ich die ^-1 reinziehen? |
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| 02.05.2008, 14:41 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau mal: Sei . mit ist das Inverse von in . Nun vereinfachen... |
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