Binomialkoeffizient - Summe

01.05.2008, 16:39	sara	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient - Summe Hi, mir fehlt leider jeglicher Ansatz um folgendes zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{x_1,\dots,x_n \in \mathbb{N}_0, x_1+\dots+x_n = y} {\alpha_1 \choose x_1} \cdot \dots \cdot {\alpha_n \choose x_n} = {\alpha_1 + \dots + \alpha_n \choose y} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}, \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Hätte vielleicht jemand einen Tipp für mich? Durch pures Ausschreiben und Kürzen bin ich nicht weitergekommen und ich wüsste auch nicht, welche Rechenregel man hier anwenden kann?
01.05.2008, 16:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fall $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ kann durch Induktion über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ beweisen werden, das ist im Board hier schon mehrfach angesprochen worden, z.B. hier: Faltung negativ-bin.Vert. ----------------------------------------------------- Anschließend beweise deine Formel durch Vollständige Induktion über $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Der Induktionsschritt $\begin{eqnarray} (n-1)\to n \end{eqnarray}$ kann auf den Fall $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ zurückgeführt werden, durch geschickte Umordnung der Summe: Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \sum_{\substack{x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{N}_0\\ x_1+\cdots+x_n = y}} f(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{k=1}^y ~ \sum_{\substack{x_1,\ldots,x_{n-1} \in \mathbb{N}_0\\ x_1+\cdots+x_{n-1} = y-k}} f(x_1,\ldots,x_{n-1},k) \end{eqnarray}$ für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ .

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