Lineare Abhängigkeit...

07.12.2005, 13:27

InfoStudent

Lineare Abhängigkeit...

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} u := (1,1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v := (1,1,-1) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W := L(u,v) \end{eqnarray*}$
Finde Zahlen $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} w := (x, y, z) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ genau dann in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegt, wenn $\begin{eqnarray*} ax + by + cz = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

[Anm. des Autors: L(u,v) bez. hier die Lineare Hülle von u und v].

Also habe ich mir überlegt, wann liegt w den in der linearen Hülle von u,v.
In den Vorlesungen haben wir einmal bewiesen,
$\begin{eqnarray*} w \in L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n,w \end{eqnarray*}$ sind linear abhänhgig und umgekehrt:
$\begin{eqnarray*} w \notin L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n,w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhänhgig.

Also hab ich mir gedacht, ich muss $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ so wählen, das $\begin{eqnarray*} u, v, w \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, also $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ vielfaches von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist und habe mir dann meine a,b,c wie folgt gewählt:
$\begin{eqnarray*} a=1, b=1, c=-2 \end{eqnarray*}$
Somit währe $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ genau dann l. a., wenn ax + by + cz = 0 und es gilt:
$\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig, oder habe ich einen Denkfehler?

07.12.2005, 13:52

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Dann nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} v = (1,1,-1) \end{eqnarray*}$ , was ja bekanntlich in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegt, und überprüfen deine $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} ax + by + cz = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-2)\cdot (-1)=4 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Was jetzt?

Tipp: Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt)

07.12.2005, 13:59

phi

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RE: Lineare Abhängigkeit...
Du hast jetzt praktisch x + y - 2 z = 0 da stehen...das sagt aber nicht viel aus, da der Bezug zu u und v fehlt.

Du musst also dir u, v und w als Spaltenvektoren vorstellen und a,b,c finden so dass

$\begin{eqnarray*} au + bv +cw = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

07.12.2005, 14:56

InfoStudent

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Danke für den Tips,
mit Phi's Ansatz hat man ja dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -x+z \\ 0 & 0 & y+x \\ 2 & 0 & z+x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und somit:
$\begin{eqnarray*} b - cx + cz) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cy + cx = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a + cz + cx) = 0 \end{eqnarray*}$

Und durch einsetzten kommt man dann ja auf:
$\begin{eqnarray*} b+c*(y-x) - 2a = 0 \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das jetzt? verwirrt

Mal zurück zu Arthurs Idee, mit
$\begin{eqnarray*} u \times v = (-2, 2, 0) \end{eqnarray*}$ hätte ich ein paar
a=-2, b=2, c=0, so das ax + by + cz = 0, wenn $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ l.a. ist.

07.12.2005, 15:18

thoroh

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Zitat:

Original von InfoStudent
Mal zurück zu Arthurs Idee, mit
$\begin{eqnarray*} u \times v = (-2, 2, 0) \end{eqnarray*}$ hätte ich ein paar
a=-2, b=2, c=0, so das ax + by + cz = 0, wenn $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ l.a. ist.

Die umgekehrte Richtung auch schon überprüft?

07.12.2005, 15:33

Smarti

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genau da hänge ich momentan auch ...

07.12.2005, 15:37

InfoStudent

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Umgekehrt gilt das natürlich leider nicht immer, also es gibt l.u. Vektoren die diese Gleichung erfüllen ...

Nur weiß ich leider jetzt auch nicht mehr weiter ...

07.12.2005, 15:41

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Zitat:

Original von InfoStudent
Umgekehrt gilt das natürlich leider nicht immer, also es gibt l.u. Vektoren die diese Gleichung erfüllen ...

Soso, wenn du dir so sicher bist, erzähl mal: Welche von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unabhängigen Vektoren erfüllen denn diese Gleichung?

07.12.2005, 15:45

thoroh

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Zitat:

Original von InfoStudent
Umgekehrt gilt das natürlich leider nicht immer, also es gibt l.u. Vektoren die diese Gleichung erfüllen ...

Welche?

07.12.2005, 15:55

InfoStudent

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Jetzt verwirrt ihr beide mich, ggf. hab ich mich jetzt etwas unglücklich ausgedrückt:

Es gibt l.u. vektoren u,v,w die die Gleichung:
ax + by + cz = 0 mit a=-2, b=2, c=0 erfüllen, zb.:

$\begin{eqnarray*} u := (1,1,1), v := (1,1,-1), w = (1,1,0) \end{eqnarray*}$
u und v sind ja so festgelegt und u,v,w sollte jetzt l.u. sein, wenn ich mich nicht vertue, außerdem erüllt dieses w meine Gleichung, ABER w liegt nicht wie gefordert in L(u,v)...

07.12.2005, 16:04

thoroh

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w=(1,1,0) lässt sich aus u und v linear kombinieren.

07.12.2005, 16:08

Smarti

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Also muss man nur das Kreuzprodukt nehmen und ist fertig?

07.12.2005, 16:25

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Stellt euch das ganze doch mal geometrisch vor:

$\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, und $\begin{eqnarray*} ax + by + cz = 0 \end{eqnarray*}$ ist eine zugehörige Ebenengleichung. Der Vektor $\begin{eqnarray*} n:=(a,b,c) \end{eqnarray*}$ ist Normalenvektor dieser Ebene, und da kann man z.B. das Vektorprodukt von $\begin{eqnarray*} u\times v \end{eqnarray*}$ nehmen, fertig.

Und wie der Name "Ebenengleichung" schon sagt, werden genau die Punkte der Ebene erfasst. Nicht mehr, aber auch nicht weniger. Und diese Ebene ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} L(u,v) \end{eqnarray*}$ .

07.12.2005, 16:29

InfoStudent

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Okey vielen dank für die Hilfe,

Die Geometrisch Deutung des Normalenvektors kannte ich noch aus der Schule, aber das L(v,u) die Ebene ist, habe ich wirklich nicht erkannt...

wenn es keine Umstände macht, vielleicht bin ich ja einfach nur blind, aber die linear Kombination würde ich gerne noch sehen (Nur aus neugier, den ich sehe nicht, wie man w linear kombinieren kann) ... Hammer

07.12.2005, 16:48

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Welche? Die von thoroh erwähnte? Na einfach

$\begin{eqnarray*} (1,1,0) = \frac{1}{2}\,(1,1,1) + \frac{1}{2}\,(1,1,-1) \end{eqnarray*}$

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